"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
[
sin 2nnx]
1
Io
1 n cos n x sin 2nnx
= - ln(sinnx)
+
dx
2nn
0 o sinnx 2nn
l fol
1
= -
cotannx sin 2nnx dx = - l n,
~ 0
~
l'intégration par parties étant justifiée.
*
1
On conclut: Vn EN , ln= - l n.
4n
h) On a, pour tout n de N*:
ln+ l - l n= fo
1
cotannx(sin2n (n + l)x -sin 2nnx )dx
= fo
1
cotannx 2sinrrx cosrr(2n + 1)x dx
= 2 fo' cosnx cosrr(2n + l)x dx
=fo l (cos 2n(n + l)x +cos 2nnx)dx
= [ sin 2n(n + 1)x + sin 2nnx ]
1
=O.
2rr(n + l)
2nn
o
Ainsi: Vn E N*,
1,, = 11 = Io
1
cotan rr x sin 2rr x dx
= 2 fol cos 2 rrx dx = 1.
Finalement, pour tout n de N*, ln = l
1
et l n= - .
4n
a) On a, pour tout a de JO; + oo[ :
l o
i
Io' r '(a +x) [
JI
1/r(a + x)dx =
dx = ln r ca + x)
0
0 r(a + x)
0
r(a + 1)
=ln rca + 1) - ln r(a) = ln
=!n a.
r(a)
h) D'après l'exercice 7.4.14 :
l o
i
1
ln r (x)cos 2rrnx dx = - .
O
4n
U ne intégration par parties, ici licite, donne :
Io
1
ln r(x) cos 2nnx dx
[
sin2nnx ]
1
loi r '(x) sin 2nnx
= Jnr (x)
-
- -
dx
2nnx
o o r(x) 2nn
1 loi
= - -
1/r(x) sin 2nnx dx,
2nn o
d'où:
l o
i
1T
1fr(x)sin 2nnx dx = - - .
0
2
1) a) Soit (f,g) E (CT) 2 .
• Remarquer d'abord que, pour tout t de R, (f * g) (t ) existe,
puisque u . - f( u)g(t - u) est continue sur [O; T].
•On a : 'VtE R ,
1 loT
(f * g)(t + T) = -
f(u)g(t + T - u) du
T o
1 loT
= -
f (u) g(t - u ) du = (f * g)(t),
T O
et donc f * g est T-périodique.
Puisque f et g sont continues sur R l ' application
R x [0 ; T] ----+ C
est continue par rapport à t, conti(t ,u) . - f(u)g(t - u)
nue par morceaux (car continue) par rapport à u, e t vérifie
HD car:
V (t ,u ) E R x [0 ; T],
IJ(u)g(t - u ) I ~ ll f lloo llglloo,
et toute appli cation constante est intégrable sur le
segment [0 ; T].
D'après le théorème de continuité sous Je signe I l'application f * g est continue sur R .
h ) •On sait déjà que (CT , +,.) est un C -ev et que* est interne
dans CT.
• * est commutative puisque :
V(f,g) E (CT) 2 ,Vt E R ,
1 loT
(g * f)(t) = -
g(u )f(t - u) du
T o
l 11-T
v::-u -y:
1
g(t - v)f(v) dv
= _!._ { T f (v)g(t - v) dv = (f * g)(t),
T Jo
en utilisant la T-périodicité de v . - f (v)g(t - v), cf. 7.1.1
Prop.-Not. 2 p. 405.
• On montre facilement que * est distributive sur + et que :
'VÀ E C, V(f,g) E (CT) 2 ,
(À.f) * g = À(j * g) = f * (Àg).
•Soient f ,g ,h E Cr. En utilisant Je théorème de Fubini sur
les intégrales doubles (Analyse MPSI, 12.2. l Théorème),
on a, pour tout t de R :
(u * g) * 1z)(t) = ~for (f * g)(u) h(t - u) du
= ; 2
foT (foT f (v)g(u - v) dv ) h(t - u ) du
= ; 2 foT f (v) (foT g(u - v)h(t - u) du) dv
= ; 2 foT f(v) (J_:-v g(w)h(t - v - w) dw) dv
= ; 2 for f (v) (foT g(w) h(t - v - w) d w ) dv
= ; 2
for f(v)(g * h)(t - v) dv = (! * (g * lz))(t) ,
et donc * est associative.
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= - ln(sinnx)
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l fol
1
= -
cotannx sin 2nnx dx = - l n,
~ 0
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l'intégration par parties étant justifiée.
*
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On conclut: Vn EN , ln= - l n.
4n
h) On a, pour tout n de N*:
ln+ l - l n= fo
1
cotannx(sin2n (n + l)x -sin 2nnx )dx
= fo
1
cotannx 2sinrrx cosrr(2n + 1)x dx
= 2 fo' cosnx cosrr(2n + l)x dx
=fo l (cos 2n(n + l)x +cos 2nnx)dx
= [ sin 2n(n + 1)x + sin 2nnx ]
1
=O.
2rr(n + l)
2nn
o
Ainsi: Vn E N*,
1,, = 11 = Io
1
cotan rr x sin 2rr x dx
= 2 fol cos 2 rrx dx = 1.
Finalement, pour tout n de N*, ln = l
1
et l n= - .
4n
a) On a, pour tout a de JO; + oo[ :
l o
i
Io' r '(a +x) [
JI
1/r(a + x)dx =
dx = ln r ca + x)
0
0 r(a + x)
0
r(a + 1)
=ln rca + 1) - ln r(a) = ln
=!n a.
r(a)
h) D'après l'exercice 7.4.14 :
l o
i
1
ln r (x)cos 2rrnx dx = - .
O
4n
U ne intégration par parties, ici licite, donne :
Io
1
ln r(x) cos 2nnx dx
[
sin2nnx ]
1
loi r '(x) sin 2nnx
= Jnr (x)
-
- -
dx
2nnx
o o r(x) 2nn
1 loi
= - -
1/r(x) sin 2nnx dx,
2nn o
d'où:
l o
i
1T
1fr(x)sin 2nnx dx = - - .
0
2
1) a) Soit (f,g) E (CT) 2 .
• Remarquer d'abord que, pour tout t de R, (f * g) (t ) existe,
puisque u . - f( u)g(t - u) est continue sur [O; T].
•On a : 'VtE R ,
1 loT
(f * g)(t + T) = -
f(u)g(t + T - u) du
T o
1 loT
= -
f (u) g(t - u ) du = (f * g)(t),
T O
et donc f * g est T-périodique.
Puisque f et g sont continues sur R l ' application
R x [0 ; T] ----+ C
est continue par rapport à t, conti(t ,u) . - f(u)g(t - u)
nue par morceaux (car continue) par rapport à u, e t vérifie
HD car:
V (t ,u ) E R x [0 ; T],
IJ(u)g(t - u ) I ~ ll f lloo llglloo,
et toute appli cation constante est intégrable sur le
segment [0 ; T].
D'après le théorème de continuité sous Je signe I l'application f * g est continue sur R .
h ) •On sait déjà que (CT , +,.) est un C -ev et que* est interne
dans CT.
• * est commutative puisque :
V(f,g) E (CT) 2 ,Vt E R ,
1 loT
(g * f)(t) = -
g(u )f(t - u) du
T o
l 11-T
v::-u -y:
1
g(t - v)f(v) dv
= _!._ { T f (v)g(t - v) dv = (f * g)(t),
T Jo
en utilisant la T-périodicité de v . - f (v)g(t - v), cf. 7.1.1
Prop.-Not. 2 p. 405.
• On montre facilement que * est distributive sur + et que :
'VÀ E C, V(f,g) E (CT) 2 ,
(À.f) * g = À(j * g) = f * (Àg).
•Soient f ,g ,h E Cr. En utilisant Je théorème de Fubini sur
les intégrales doubles (Analyse MPSI, 12.2. l Théorème),
on a, pour tout t de R :
(u * g) * 1z)(t) = ~for (f * g)(u) h(t - u) du
= ; 2
foT (foT f (v)g(u - v) dv ) h(t - u ) du
= ; 2 foT f (v) (foT g(u - v)h(t - u) du) dv
= ; 2 foT f(v) (J_:-v g(w)h(t - v - w) dw) dv
= ; 2 for f (v) (foT g(w) h(t - v - w) d w ) dv
= ; 2
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et donc * est associative.
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