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O'l
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>0..
0
u
Le changement de variable t = 1 - x donne :
fo
1
1n r (x) dx = fo
1
1nr(l - t ) dt ,
d'où, à l'aide de la formule des compléments :
2Io
1
ln r(x ) dx
= fo
1
ln r(x) dx + fo
1
1n r (l -x) dx
= Io
1
ln ( r(x )r (l - x ) )ctx
= f
1
ln __;:.___ dx = ln JT - {
1
ln sin JT x dx.
lo sm nx
lo
En notant I = Io
1
ln sin JT x dx, on a :
.!.
1
I = Io
2
ln sin n x dx + ~ ln sin n x dx
ï
1
1
=
f
2
1n sinnx dx + f
2
1n sin rry dy.
y= l - x k
k
1
Notons A = Io
2
ln sin n x dx,
1
B = fo
2
ln cos rrx dx ; on
a obtenu : I = 2A.
1
D'autre part, le changement de variable t = l - x donne
B =A , d'où:
1
I = 2A = A+ B = fo
2
ln(sinrr x cos rrx)dx
1
•
Io
'i.
sm 2rrx
=
ln - - - dx
0
2
Io
~
1
=
ln sin 2rrx dx - - ln 2
0
2
111
1
= -
ln sin rr y d y - - ln 2
y=2x 2 O
2
1
1
= - 1 - - Jn 2
2
2
,
et donc : I = - ln 2.
Finalement : t ln r (x) dx = ~ ln (2rr ) .
lo
2
l
a+ I
b) a ) L'application f : a 1---+ a
ln r(x) dx est de classe
C 1 sur ]O; +oo[ et:
Va E]O; +oo[,
f' (a) =ln r (a + l ) - ln r(a)
r(a + 1)
= ln
= ln a .
r(a )
Tl ex iste donc C E IR te l que :
Va E]O; +oo[, f (a) = a ln a - a+ C.
D'une part: f (a) ~ C.
a~ o+
D'autre part, comme ln o r est intégrable sur ]0; 1],
1
1
l
f (a) ~
ln r (x ) dx = - ln (2rr )'
a->0
0
2
d'où
l
C = l ln (2rr).
Finalement: Va E]O; +oo[,
l
a+ I
l
ln r (x) dx = a !n a - a + - ln(2rr) .
a
2
/3) On a:
Io
n
n- 1 lk+l
!n r(a + x ) dx = L lnr(a+x) dx .
0
k=O k
n-1 1 a+k+ l
= L
ln r (y) d y
k=O a+k
n - 1
l
= L ((a + k)ln(a + k) - (a + k) + l ln (2rr ))
k=O
n- 1
(
)
'°'
n
nn - 1
= L.., (a + k) ln (a + k ) - na + - ln (2rr) -
.
k=O
2
2
Soit n EN*.
L'application x i---+ ( 1n r (x)) cos 2rr nx est continue sur
]0; 1], et
( 1nr(x))cos2rrnx ~ ln r(x) ~ -ln x > O ,
x~ o+
donc x 1---+ ( 1 n r (x)) cos 2rr nx est intégrable sur ]O; 1] .
L'application x 1---+ cotan n x sin 2rr nx est continue sur ]O; 1 [,
1
etcotan rrx sin 2nnx ~ - 2nnx = 2n ,
x~ O JT X
cotan JT x sin 2nnx = - cotan rr(l - x ) sin 2rr n( l - x)
1
~ -
2nnx(l - x) = - 2n ,
x ~ir
rr (l - x )
donc x i---+ cotan JT x sin 2nnx est intégrable sur ]O; 1 [ .
a) On a, pour n EN* :
In =
f
1
1n r (l - y) cos 2rrny d y,
y= l -x Jo
d'où, en utilisant la formule des compléments :
21,, = Io
1
ln r (x ) cos 2nnx dx
+ fo
1
1nr( l -x) cos 2nnx dx
= fo
1
1n( r(x )r(l - x ))cos2rrnx dx
= {
1
ln ( __;:.___ ) cos 2rr nx dx
lo Stn JT X
[
sin 2nnx ]
1
fol
= In n
-
ln(sinrr x)cos 2rrnx dx
2nn
0
o