"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Comme en b) etc), on obtient Ao(r) = 0 et:
\ln EN*,
•Raisonner de même pour Gr, en montrant
G~(t) = fr(t) - l.
2• méthode
À l'aide d'une intégration par parti es :
\ln EN*,
[
sinnt ]
2
1T
loZrr
sinnt
An(r) = Fr(t) - -
-
F;(t) - - dt
n
0
0
n
1 lo2rr
1
= - -
gr(t) sin nt dt= - - l n(r).
n o
n
Raisonner de même pour Bn (r), n ~ l.
Enfin, les valeurs de Ao(r) et Bo(r) sont immédiates.
Réponse: An(r) = 1 ~ nrn
n
B"Vi ~ 1 ~~"
• Soit x E]O; 1 [.
sin= 0
s in ~ l '
sin= 0
sin ~ 1.
n!nx
D'après la formule de Gauss, _ n _ _ _ ~ r (x),
noo
donc
l
rr (x + k )
k=O
Un ~
, en notant
noo x r(x) r(l - x)
n
rr (x + k)
k=O
n
rr (1- X+ k)
k=O
U n = ~ --n-!n-~- - -
n!nl -x
( ex+ 1)(x+2) ... (x+n>) (O -x)(2-x) ... (n-x))
(n!)2
n+l-x
n
n + l -x
Comme
~ 1 , on conclut:
n
noo
l
~ - - - - - -
noo xr(x)r(l - x)
•D'autre part, d'après l'exercice 7.4.10 c) a) (appliqué à nt au
lieu de x), on a:
\lt E]O; 1 [,
+ oo
2t
l
~ - - - = - - n cotan nt.
L.., rz2 - t 2
t
n= I
Considérons ]O; 1 [----+ IR
t1--+ } - n cotan nt
Puisque:
sin nt - nt cos nt
=
(nt + o(t
2 )) - nt (l + o(t))
tsinnt
o(t2)
= - . -
= o(l),
t Sinn t
on peut prolonger Par ailleurs, pour tout n de N*, l'application fn :
[O; 1 [ ----+ IR
fi--+ _1J__
n 2_ ,2
est continue, et la série L fn converge normalement, donc un.in;;, 1
formément, sur tout [O; a ] (a E [O; 1 [), car :
\ln EN*, \lt E [0; a ],
2
lfnCt) I ::::; 2
2 .
n -a
D'après Je théorème d'intégration pour Jes séries d'applications,
pour tout X de [O; 1 [, la série L r fn (t) dt converge et a pour
n ;;, l lo
somme fox
[
t ]X
n X
sin nt 0
sin nx '
et, pour tout n de N* :
fox fn (t) dt = [ - ln(n 2 - t 2 ) ]~
=-ln n 2 ~ x2 =-ln ( 1 - (~) 2).
On obtient ainsi :
+ oo
(
(x)2)
sinnx
L ln 1 - - = ln - - ,
n= l
n
nx
d'où, par exponentiation :
On conclut :
Remarque:
~
n.oo
n
r(x) r(l - x) = -. - .
srn nx
1
sin nx
nx
En remplaçant x par 2
dans la formule des compléments, on
retrouve : r (~) = ,Jn.
a) L'application ln o r est continue sur ]O; l], et, puisque
l
r (x) ~ - , ln o r (x) ~ - ln x>Ü;
x~Q+ X
x ~O +
comme x r-----+ -ln x est intégrable sur ]O; l] , il en résulte que
ln o r est intégrable sur ]O; l] .
1 731
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\ln EN*,
•Raisonner de même pour Gr, en montrant
G~(t) = fr(t) - l.
2• méthode
À l'aide d'une intégration par parti es :
\ln EN*,
[
sinnt ]
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sinnt
An(r) = Fr(t) - -
-
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n
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n
1 lo2rr
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= - -
gr(t) sin nt dt= - - l n(r).
n o
n
Raisonner de même pour Bn (r), n ~ l.
Enfin, les valeurs de Ao(r) et Bo(r) sont immédiates.
Réponse: An(r) = 1 ~ nrn
n
B"Vi ~ 1 ~~"
• Soit x E]O; 1 [.
sin= 0
s in ~ l '
sin= 0
sin ~ 1.
n!nx
D'après la formule de Gauss, _ n _ _ _ ~ r (x),
noo
donc
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rr (x + k )
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noo x r(x) r(l - x)
n
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k=O
n
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k=O
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n!nl -x
( ex+ 1)(x+2) ... (x+n>) (O -x)(2-x) ... (n-x))
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n+l-x
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Comme
~ 1 , on conclut:
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noo xr(x)r(l - x)
•D'autre part, d'après l'exercice 7.4.10 c) a) (appliqué à nt au
lieu de x), on a:
\lt E]O; 1 [,
+ oo
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l
~ - - - = - - n cotan nt.
L.., rz2 - t 2
t
n= I
Considérons ]O; 1 [----+ IR
t1--+ } - n cotan nt
Puisque:
sin nt - nt cos nt
=
(nt + o(t
2 )) - nt (l + o(t))
tsinnt
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= - . -
= o(l),
t Sinn t
on peut prolonger Par ailleurs, pour tout n de N*, l'application fn :
[O; 1 [ ----+ IR
fi--+ _1J__
n 2_ ,2
est continue, et la série L fn converge normalement, donc un.in;;, 1
formément, sur tout [O; a ] (a E [O; 1 [), car :
\ln EN*, \lt E [0; a ],
2
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n -a
D'après Je théorème d'intégration pour Jes séries d'applications,
pour tout X de [O; 1 [, la série L r fn (t) dt converge et a pour
n ;;, l lo
somme fox
[
t ]X
n X
sin nt 0
sin nx '
et, pour tout n de N* :
fox fn (t) dt = [ - ln(n 2 - t 2 ) ]~
=-ln n 2 ~ x2 =-ln ( 1 - (~) 2).
On obtient ainsi :
+ oo
(
(x)2)
sinnx
L ln 1 - - = ln - - ,
n= l
n
nx
d'où, par exponentiation :
On conclut :
Remarque:
~
n.oo
n
r(x) r(l - x) = -. - .
srn nx
1
sin nx
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En remplaçant x par 2
dans la formule des compléments, on
retrouve : r (~) = ,Jn.
a) L'application ln o r est continue sur ]O; l], et, puisque
l
r (x) ~ - , ln o r (x) ~ - ln x>Ü;
x~Q+ X
x ~O +
comme x r-----+ -ln x est intégrable sur ]O; l] , il en résulte que
ln o r est intégrable sur ]O; l] .
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