"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
+oo +oo
l
On a donc: (fplfq) = L 2:- 2 -· - (Snplsmq).
m=I n=l rr mn
On montre aisément, pour tout (m,n) de (N*) 2 :
1 lo2Jr
l
0
(sm lsn) = -
sinmt sin nt dt=
1
2rr o
-
2
sim # n
sim =n
D'autre part, montrer en utilisant le théorème de Gauss :
{ (n,m) E (N*)
2 ; np = mq} = { (vql> vp1); v E N* },
où Pl = ~· q1 = ~· 8 =pgcd (p ,q).
1
+oo 1
D'où: (fplfq) =
2 2
L 2·
rr PJql v= l V
Enfin: fo
2
n f(pt)f(qt) dt= 2rr(fplfq).
rr
p
q
Réponse:
, où Pl = 0 , q1 = 0 , 8 = pgcd(p,q).
6p1q1
u
u
a) Il est clair que fa est 2rr-périodique et continue, donc
fa E V2n· De plus, fa est paire, donc : Vn E N* , bn = 0.
y
On a, pour tout n de N :
2 lo]f
1 lo]f
an= -
cosat cos nt dt= -
rr 0
rr 0
( cos(n + a)t + cos(n - a)t) dt
= ~ ([sin(n + a)t]n + [sin(n - a)t]n)
rr
n+a
0
n-a
o
= (-1)" sinarr (-1 - __ l_)
n
n+a
n-a
2a(- l)
11 + 1 sin arr
rr(n 2 - a2)
, l Vn E N
Reponse:
'
Vn E N* , bn =O.
2a sinarr
b) • Puisque la 11 1 ~
2
, la série de Fourier de fa
noo
rrn
converge normalement (donc uniformément et simplement)
sur IR .
• Comme fa E V2n et que f a est de classe C 1 par morceaux,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de fa converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme fa· On a
donc:
Vt E IR,
sinarr
~ 2a(-l)
11 + 1 sinarr
fa(t) = - - + L.,
2
2
cosnt.
arr
n= l
rr(n -a)
c) a) En appliquant le résultat précédent à t = rr, on obtient:
_ sinarr _ 2a sinarr ~
1
cos arr -
L., 2
2 .
arr
rr
n= 1 n - a
Le changement x = arr donne :
+oo
2x
1
Vx E IR - rr 'll, L 2 2 2
= - - cotanx.
n=lrrn -x
x
f3 ) De même, appliquer le résultat de b) à t =O.
a) Puisque fr et gr sont 2rr-périodiques et continues, on a:
fr E V2n et gr E V2n· De plus, fr est paire et gr est impaire.
On a, pour tout t de IR :
.
1 - r cos t + ir sin t
fr(t) + 1gr(t) = (1
Îl)(l
-ÎI)
- re ·
- re
puisque Ir ei
1 1=r < 1.
b) Comme les séries d'applications L (t ~ rn cos nt) et
n;,O
L (t ~ rn sin nt) convergent normalement sur IR (puisque
n;.O
r E] - 1; 1 [),donc uniformément sur IR, leurs sommes, qui sont
fr et gr sont dans V2n et les coefficients de Fourier de fr et gr
sont les coefficients de ces séries (cf. exercice 7.1.5 p. 411).
l
aoCfr )=2, ao(gr)=O
Réponse: Vn E N*, (anCfr ) = r", a,.(gr) = 0)
"ln E N*, (b 11 Cfr ) =0, b 11 (gr) =rn).
Les séries de Fourier de f r et gr convergent normalement sur IR .
Réponse: / 11 (r) = {
2rr
rrr"
sin= 0
sin ~ l
sin= 0
sin ~ 1
d) • Fr est de classe C 1 sur IR , Fr (0) = 0, et :
,
r sin t
Fr(t) =
2
= gr(t).
1 - 2r cost + r
Vt E IR ,
l"'méthode
D'après le théorème d'intégration des sommes de séries d'applications, puisque la série de Fourier de gr converge normalement (donc uniformément) sur tout segment de IR , et que
+oo r"
Fr(O) = ln(l - r) = - L -, on déduit:
n=l n
Vt E IR,
+oo r" cosnt
Fr (t)=L.
11=1
n
0
c
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On a donc: (fplfq) = L 2:- 2 -· - (Snplsmq).
m=I n=l rr mn
On montre aisément, pour tout (m,n) de (N*) 2 :
1 lo2Jr
l
0
(sm lsn) = -
sinmt sin nt dt=
1
2rr o
-
2
sim # n
sim =n
D'autre part, montrer en utilisant le théorème de Gauss :
{ (n,m) E (N*)
2 ; np = mq} = { (vql> vp1); v E N* },
où Pl = ~· q1 = ~· 8 =pgcd (p ,q).
1
+oo 1
D'où: (fplfq) =
2 2
L 2·
rr PJql v= l V
Enfin: fo
2
n f(pt)f(qt) dt= 2rr(fplfq).
rr
p
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Réponse:
, où Pl = 0 , q1 = 0 , 8 = pgcd(p,q).
6p1q1
u
u
a) Il est clair que fa est 2rr-périodique et continue, donc
fa E V2n· De plus, fa est paire, donc : Vn E N* , bn = 0.
y
On a, pour tout n de N :
2 lo]f
1 lo]f
an= -
cosat cos nt dt= -
rr 0
rr 0
( cos(n + a)t + cos(n - a)t) dt
= ~ ([sin(n + a)t]n + [sin(n - a)t]n)
rr
n+a
0
n-a
o
= (-1)" sinarr (-1 - __ l_)
n
n+a
n-a
2a(- l)
11 + 1 sin arr
rr(n 2 - a2)
, l Vn E N
Reponse:
'
Vn E N* , bn =O.
2a sinarr
b) • Puisque la 11 1 ~
2
, la série de Fourier de fa
noo
rrn
converge normalement (donc uniformément et simplement)
sur IR .
• Comme fa E V2n et que f a est de classe C 1 par morceaux,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de fa converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme fa· On a
donc:
Vt E IR,
sinarr
~ 2a(-l)
11 + 1 sinarr
fa(t) = - - + L.,
2
2
cosnt.
arr
n= l
rr(n -a)
c) a) En appliquant le résultat précédent à t = rr, on obtient:
_ sinarr _ 2a sinarr ~
1
cos arr -
L., 2
2 .
arr
rr
n= 1 n - a
Le changement x = arr donne :
+oo
2x
1
Vx E IR - rr 'll, L 2 2 2
= - - cotanx.
n=lrrn -x
x
f3 ) De même, appliquer le résultat de b) à t =O.
a) Puisque fr et gr sont 2rr-périodiques et continues, on a:
fr E V2n et gr E V2n· De plus, fr est paire et gr est impaire.
On a, pour tout t de IR :
.
1 - r cos t + ir sin t
fr(t) + 1gr(t) = (1
Îl)(l
-ÎI)
- re ·
- re
puisque Ir ei
1 1=r < 1.
b) Comme les séries d'applications L (t ~ rn cos nt) et
n;,O
L (t ~ rn sin nt) convergent normalement sur IR (puisque
n;.O
r E] - 1; 1 [),donc uniformément sur IR, leurs sommes, qui sont
fr et gr sont dans V2n et les coefficients de Fourier de fr et gr
sont les coefficients de ces séries (cf. exercice 7.1.5 p. 411).
l
aoCfr )=2, ao(gr)=O
Réponse: Vn E N*, (anCfr ) = r", a,.(gr) = 0)
"ln E N*, (b 11 Cfr ) =0, b 11 (gr) =rn).
Les séries de Fourier de f r et gr convergent normalement sur IR .
Réponse: / 11 (r) = {
2rr
rrr"
sin= 0
sin ~ l
sin= 0
sin ~ 1
d) • Fr est de classe C 1 sur IR , Fr (0) = 0, et :
,
r sin t
Fr(t) =
2
= gr(t).
1 - 2r cost + r
Vt E IR ,
l"'méthode
D'après le théorème d'intégration des sommes de séries d'applications, puisque la série de Fourier de gr converge normalement (donc uniformément) sur tout segment de IR , et que
+oo r"
Fr(O) = ln(l - r) = - L -, on déduit:
n=l n
Vt E IR,
+oo r" cosnt
Fr (t)=L.
11=1
n