"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Comme g est de classe C 1 et que :
I
X
"lx E [O; l[, g (x) = (x -1) 2 ,
on déduit les variations de g, puis de/, et finalement f est décroissante sur ]O; 1 [.
Enfin, f est intégrable sur JO; l[.
En utilisant l'exercice 3.1.5, on déduit :
~ ~ f (~) ----+ f
1
f (x) dx
nk=l
n
noo Jo
= fi ln(l -x) dx = fi~ dt= - JT2
lo
x
lo 1 - t
6 '
cf. exercice 7.4.6.
Tl est clair que, puisque /(0) = f(TC) = 0, il existe une
application g : IR ~ IR (et une seule) 2TC-périodique, impaire,
telle que: \f t E [O; n] , g(t) = f(t).
De plus, comme f est C
1 sur [O; TC] et que g est impaire, en
examinant les limites de g' en 0 à droite et à gauche, il en
résulte que g est de classe C
1 sur IR .
Ainsi, g est 2TC-périodique et C
1 sur IR.
Calculons les coefficients de Fourier trigonométriques a,,, b,,
de g.
Puisque g est impaire : \f n E N, a,, = O.
Et, pour tout n E N* :
21"
21"
b,, = -
g(t)sinntdt = -
f(t)sinntdt.
2TC - 1C
TC O
Puisque g est 2n-périodique, de classe C
1 par morceaux et
continue, d'après le théorème de convergence normale, la
série de Fourier de g converge normalement, donc simplement, sur IR et a pour somme g.
On a donc:
+oo
\f t E IR, g(t) = Lbn sin nt.
n= I
En notant, pour tout n E N*, a,, = nb 11 , on obtient :
+oo
"""'a,, .
"lt E [O; n], f(t) = L - smnt.
n= l n
Comme g' est 2n-périodique et continue par morceaux (car
continue), on peut appliquer le théorème de Parseval:
a (g')2
1 +oo
1 f 2"
~ + 2 (.; (a11 (g')2 + b11(g' )2) = 2n Jo gl2 (t) dt.
Puisque g est impaire, g' est paire, donc tous les b,, (g' ) sont
nuls.
On a : \f n E N*, an (g') = nbn (g) = a"
et:
I
21" /
21" 1
ao(g ) = -
g (t) dt = -
f (t) dt
2n _"
n o
2
= -(/(n) - /(0)) =O.
JT
Enfin:
-
g'
2 (t)dt= -
f '
2 (t)dt=l.
l 1"
21"
2JT -1C
2TC O
On conclut:
+oo
La~ =2.
n= I
J) Considérons la régularisée f de f.
y
,
,
,
,
y
2
1
2
Puisque f e st impaire, on a :
•"ln E f::I , a 11 =0
•"ln EN*, bn = ~ r (-t -~)
TC lo 2n 2
sin nt dt
,
,
+ r -
1
- cos nt dt)
Jo 2nn
nn
2) Pour p E N*, notons fp: IR ----+ IC et, pour k E N* , not r--+ f (pt)
tons Sk : IR ----+ IC .
tr--+ sin kt
D'après le théorème de Parseval (7.2.3 Th. p. 416) et l'exer1
ci ce 7 .1.1 b) p. 411 , la série L -- S 111 q converge vers f q dans
m;;, l TCm
(1h,,. , (. 1.)). Comme l'application g f--+ (fp lg) est continue sur
D2rr (cf. 1.6.2 Prop. 4 p. 82), on déduit :
+oo
1
(fp lf q) = L - - (fp lSmq).
m= I nm
Pour les mêmes raisons :
"lm E f::I* ,
+oo
1
(fplsmq) = L --(SnplSmq ).
n= I nn
1 729
0
c
::J
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I
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on déduit les variations de g, puis de/, et finalement f est décroissante sur ]O; 1 [.
Enfin, f est intégrable sur JO; l[.
En utilisant l'exercice 3.1.5, on déduit :
~ ~ f (~) ----+ f
1
f (x) dx
nk=l
n
noo Jo
= fi ln(l -x) dx = fi~ dt= - JT2
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cf. exercice 7.4.6.
Tl est clair que, puisque /(0) = f(TC) = 0, il existe une
application g : IR ~ IR (et une seule) 2TC-périodique, impaire,
telle que: \f t E [O; n] , g(t) = f(t).
De plus, comme f est C
1 sur [O; TC] et que g est impaire, en
examinant les limites de g' en 0 à droite et à gauche, il en
résulte que g est de classe C
1 sur IR .
Ainsi, g est 2TC-périodique et C
1 sur IR.
Calculons les coefficients de Fourier trigonométriques a,,, b,,
de g.
Puisque g est impaire : \f n E N, a,, = O.
Et, pour tout n E N* :
21"
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b,, = -
g(t)sinntdt = -
f(t)sinntdt.
2TC - 1C
TC O
Puisque g est 2n-périodique, de classe C
1 par morceaux et
continue, d'après le théorème de convergence normale, la
série de Fourier de g converge normalement, donc simplement, sur IR et a pour somme g.
On a donc:
+oo
\f t E IR, g(t) = Lbn sin nt.
n= I
En notant, pour tout n E N*, a,, = nb 11 , on obtient :
+oo
"""'a,, .
"lt E [O; n], f(t) = L - smnt.
n= l n
Comme g' est 2n-périodique et continue par morceaux (car
continue), on peut appliquer le théorème de Parseval:
a (g')2
1 +oo
1 f 2"
~ + 2 (.; (a11 (g')2 + b11(g' )2) = 2n Jo gl2 (t) dt.
Puisque g est impaire, g' est paire, donc tous les b,, (g' ) sont
nuls.
On a : \f n E N*, an (g') = nbn (g) = a"
et:
I
21" /
21" 1
ao(g ) = -
g (t) dt = -
f (t) dt
2n _"
n o
2
= -(/(n) - /(0)) =O.
JT
Enfin:
-
g'
2 (t)dt= -
f '
2 (t)dt=l.
l 1"
21"
2JT -1C
2TC O
On conclut:
+oo
La~ =2.
n= I
J) Considérons la régularisée f de f.
y
,
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2
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2
Puisque f e st impaire, on a :
•"ln E f::I , a 11 =0
•"ln EN*, bn = ~ r (-t -~)
TC lo 2n 2
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,
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2) Pour p E N*, notons fp: IR ----+ IC et, pour k E N* , not r--+ f (pt)
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D'après le théorème de Parseval (7.2.3 Th. p. 416) et l'exer1
ci ce 7 .1.1 b) p. 411 , la série L -- S 111 q converge vers f q dans
m;;, l TCm
(1h,,. , (. 1.)). Comme l'application g f--+ (fp lg) est continue sur
D2rr (cf. 1.6.2 Prop. 4 p. 82), on déduit :
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(fp lf q) = L - - (fp lSmq).
m= I nm
Pour les mêmes raisons :
"lm E f::I* ,
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1
(fplsmq) = L --(SnplSmq ).
n= I nn
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