"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a)D'après leDSE(O) dex 1----+ ln (l +x) (cf.6.5.34) p.383),
on a:
"lx E [0; l [,
+oo (-l)n-lxn
ln(l + x) = L
,
n= I
n
d'où : Vx E]O; 1 [,
ln(l +x) = I: (-l )n- lxn- 1
x
n=1
n
• La série d'applications L fn, où fn
n;;. l
[O; 1] -----+ lR
( - 1 )"- 1 x"- 1
Xt---+
n
converge uniformément sur [0; 1]. En effet, le TSCSA s'applique
car pour tout x de [0; 1], la série numérique L f,, (x) est aln;;. I
ternée et ( lf 11 (x)l) 11 ;;. 1 décroît et tend vers O. On en déduit :
V(n,x) EN x [O; l],
1
+oo
1
x"
l
IRn(x) I =
L. fk(X) ~ l!n+I (x) I = - - ~ - - ,
k=n+ l
n+l
n+l
d'où ll R,, lloo ---+ O.
noo
• Puisque chaque fn est continue, et que L f 11 converge uni11 ;;. l
On obtient a insi
,
{
2 K - 1 = I
4K - 31=0
3
rr 2
et K = 2
1 = - 8
.
d'où
rr2
1 =21 = - -
6
1 • Une intégration par parties, ic i licite, donne :
l a
1 1 l+ x
- ln - - dx
0 X
1- X
= [1n x ln
1 +x ]I - f
1
1n x ( -
1
- · + _ l_. ) dx
1 - X Q lo
l +X
l - X
!a
l ln x
=-2
- -
dx
o 1 -x 2
rr2
= -2K = - 4·
• f +oo ~ dx = f 1 ~ dy = - rr2 .
11 l - x 2 Y= t lo 1 - y2
8
f
+oo 1
X+ ]
i) 1
l +y
n 2
•
- ln - - dx =
- ln - - dy = - .
) X X - 1 Y=t Q y 1 - y
4
l a
+oo ln x
!al ln x
f +oo ln x
•
- - dx=
- - dx+
- - dx
o l - x 2
o 1 - x 2
1
l - x 2
f l +oo
1
formément sur [0; 1], on peut permuter lr: et L , d'où :
0
n=I
il ln ( l +x) dx =il ( I:fn(x) ) dx
=2 fi ~dx=-rr2
lo 1 - x2
4
0
X
0
n= I
+oo f 1
+oo (- l )'' - 1
=Llo j,,(x) dx = L
2
n= I 0
n= I
n
Cf. aussi exercice 5.3.23 e) p. 334.
+oo ( _ 1 ) n
rr 2
,
On a vu: L - - 2 - = - - (cf. 7.4 Exemple 1 p. 423), d'ou :
n=l n
12
f
1 ln( l +x) dx = rr
2 .
lo
X
12
ln x
b) • Puisque x r---+ - - est intégrable sur ] 0; 1] et que
l +x
ln x ln(l + x) admet une limite fi nie (0) lorsque x tend vers
o+, on peut intégrer par parties:
i
l ln x
- - d x
o l +x
[
]
1
!al ln(l +x)
rr 2
= lnx ln(l +x) -
dx = - - .
Ü
0
X
12
!a
l ln x
!al ln x
• Notons I =
- - dx, 1 =
- - dx,
o l +x
o 1 -x
!a
l
ln X
K =
- - dx (qui existent).
O 1 - x2
Ona:
lo
i 2 1n x
I + 1 =
- - dx = 2K.
o l -x 2
!a
l 2 ln y
D'autre part : J =
- -
2
2y dy
y=.fi 0 1 - y
lo
i (y + l ) - 1
= 4
0
ln y dy = 41 - 4K.
1 - y2
• f +oo ~ Jn 11 +X 1 dx
lo X 1 - X
Io
I l
l +X
i +oo l
X+ l
=
- ln- - dx +
- ln- - . dx
o x 1 -x
1
x x- 1
=2 f i~ ln l+x dx = rr2 .
lo X 1 - X
2
Réponse:
f l ~dx =-n2, fl ~dx =- n2,
lo 1 + x
12
lo 1 - x
6
f I ~ dx = - rr2 fi ~ ln 1 +x dx = rr2
lo 1 - x2
8 ' lo x l - x
4 '
f +oo ~ dx = - Jr2, f +oo ~ ln X + 1 dx = Jr2'
}J
1 - X2
8 11 X X - 1
4
lo
+oo ln x
_
rr
2 !o+oo l
Il +x i rr
2
- - dx- - - ,
- ln - - dx- -
0
1 - x2
4 0
X
J - X
-
2 .
"ln ~ 2, ln (ïî (1 - ~) t) = ~ ~ f (~) ,
k= I
n
n k= I
n
où f : ]0; l [ -----+ lR .
Xt---+ l n( l -x)
X
L'application f est continue sur ]O; 1 [, prolongeable par continuité en 0, car f (x) ---+ - 1 ; f est de classe C 1 sur ]0; 1 [
x -> O+
I
1
et: "lx E]O; 1[, f (x) = - 2 g(x),
X
où g : [O; 1 [ -----+ lR
xt---+ ln ( l - x)+ 1
_:.x
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
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.......
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O'l
·;::::
>Q.
0
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a)D'après leDSE(O) dex 1----+ ln (l +x) (cf.6.5.34) p.383),
on a:
"lx E [0; l [,
+oo (-l)n-lxn
ln(l + x) = L
,
n= I
n
d'où : Vx E]O; 1 [,
ln(l +x) = I: (-l )n- lxn- 1
x
n=1
n
• La série d'applications L fn, où fn
n;;. l
[O; 1] -----+ lR
( - 1 )"- 1 x"- 1
Xt---+
n
converge uniformément sur [0; 1]. En effet, le TSCSA s'applique
car pour tout x de [0; 1], la série numérique L f,, (x) est aln;;. I
ternée et ( lf 11 (x)l) 11 ;;. 1 décroît et tend vers O. On en déduit :
V(n,x) EN x [O; l],
1
+oo
1
x"
l
IRn(x) I =
L. fk(X) ~ l!n+I (x) I = - - ~ - - ,
k=n+ l
n+l
n+l
d'où ll R,, lloo ---+ O.
noo
• Puisque chaque fn est continue, et que L f 11 converge uni11 ;;. l
On obtient a insi
,
{
2 K - 1 = I
4K - 31=0
3
rr 2
et K = 2
1 = - 8
.
d'où
rr2
1 =21 = - -
6
1 • Une intégration par parties, ic i licite, donne :
l a
1 1 l+ x
- ln - - dx
0 X
1- X
= [1n x ln
1 +x ]I - f
1
1n x ( -
1
- · + _ l_. ) dx
1 - X Q lo
l +X
l - X
!a
l ln x
=-2
- -
dx
o 1 -x 2
rr2
= -2K = - 4·
• f +oo ~ dx = f 1 ~ dy = - rr2 .
11 l - x 2 Y= t lo 1 - y2
8
f
+oo 1
X+ ]
i) 1
l +y
n 2
•
- ln - - dx =
- ln - - dy = - .
) X X - 1 Y=t Q y 1 - y
4
l a
+oo ln x
!al ln x
f +oo ln x
•
- - dx=
- - dx+
- - dx
o l - x 2
o 1 - x 2
1
l - x 2
f l +oo
1
formément sur [0; 1], on peut permuter lr: et L , d'où :
0
n=I
il ln ( l +x) dx =il ( I:fn(x) ) dx
=2 fi ~dx=-rr2
lo 1 - x2
4
0
X
0
n= I
+oo f 1
+oo (- l )'' - 1
=Llo j,,(x) dx = L
2
n= I 0
n= I
n
Cf. aussi exercice 5.3.23 e) p. 334.
+oo ( _ 1 ) n
rr 2
,
On a vu: L - - 2 - = - - (cf. 7.4 Exemple 1 p. 423), d'ou :
n=l n
12
f
1 ln( l +x) dx = rr
2 .
lo
X
12
ln x
b) • Puisque x r---+ - - est intégrable sur ] 0; 1] et que
l +x
ln x ln(l + x) admet une limite fi nie (0) lorsque x tend vers
o+, on peut intégrer par parties:
i
l ln x
- - d x
o l +x
[
]
1
!al ln(l +x)
rr 2
= lnx ln(l +x) -
dx = - - .
Ü
0
X
12
!a
l ln x
!al ln x
• Notons I =
- - dx, 1 =
- - dx,
o l +x
o 1 -x
!a
l
ln X
K =
- - dx (qui existent).
O 1 - x2
Ona:
lo
i 2 1n x
I + 1 =
- - dx = 2K.
o l -x 2
!a
l 2 ln y
D'autre part : J =
- -
2
2y dy
y=.fi 0 1 - y
lo
i (y + l ) - 1
= 4
0
ln y dy = 41 - 4K.
1 - y2
• f +oo ~ Jn 11 +X 1 dx
lo X 1 - X
Io
I l
l +X
i +oo l
X+ l
=
- ln- - dx +
- ln- - . dx
o x 1 -x
1
x x- 1
=2 f i~ ln l+x dx = rr2 .
lo X 1 - X
2
Réponse:
f l ~dx =-n2, fl ~dx =- n2,
lo 1 + x
12
lo 1 - x
6
f I ~ dx = - rr2 fi ~ ln 1 +x dx = rr2
lo 1 - x2
8 ' lo x l - x
4 '
f +oo ~ dx = - Jr2, f +oo ~ ln X + 1 dx = Jr2'
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1 - X2
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_
rr
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1 - x2
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X
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2 .
"ln ~ 2, ln (ïî (1 - ~) t) = ~ ~ f (~) ,
k= I
n
n k= I
n
où f : ]0; l [ -----+ lR .
Xt---+ l n( l -x)
X
L'application f est continue sur ]O; 1 [, prolongeable par continuité en 0, car f (x) ---+ - 1 ; f est de classe C 1 sur ]0; 1 [
x -> O+
I
1
et: "lx E]O; 1[, f (x) = - 2 g(x),
X
où g : [O; 1 [ -----+ lR
xt---+ ln ( l - x)+ 1
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