"'O
0
c
::J
0
(V)
r i
0
N
@
a) Puisque f est 2n-périodique et conti nue, f E 'D2rr·
\ 7
Comme f est paire :
• Vn E N*, bn = 0
' I
0
' = /(1)
L\
b-a b+a n
2 !arr
•Vn EN, a 11 = -
f(t) cosnt dt
JT 0
7
2 (lo b- a
l b+a b +a _ t
)
= :;:0
cosnt dt +
cos nt dt .
,.
b-a
2a
Si n ;;::: 1, o n obtient, à l'aide d'une intégration par parties :
_ 2 ([ sinnt ] b- a [b+ a-t sinnt ]b+a
a11- -
- -
+
- -
n
n
o
2a
n
b- a
1 l b+a sin nt )
+- - dt
2a b-a
n
= _ 1_ [ -cosnt ]b+"
nan
n
b- ll
cosn(b - a) - cosn(b +a)
nan2
2 sin na sin nb
nan2
Et · .
2 (lc b- a
l b+a b + a - t )
2b
ao = -
dt +
dt = - .
n
0
b- a
2a
JT
Réponse :
2b
ao= -
n
Vn EN* ,
2 sin na sinnb
a,, = ----=--nan2
Vn E N*, b 11 = 0.
2
b) •Puisque la 11 I ,,;; - - 2
, la série de Fourier de f converge norn an
maternent (do nc uniformément et simplement) sur IR .
• Comme f E V2rr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR ,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conc lut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme f. On a
donc:
f
b
~ 2 sin na sinnb
Vt E IR,
(t) = - + L.,
2
cosnt.
n
n=I
nan
c) •En appliquant le résu ltat précédent à t = 0, o n obtient :
b
2 ~ sinna si nnb
1 =- +- L.,
.
n
na 11= 1
n2
•Puisque f E D2rr • o n peut appliquer la formule de Parseval
(7.2.3 Corollaire 1 p. 4 16); on obtient:
b
1 + ~ (2-)
2
~ sin
2 na sin
2 nb
n2
2 na
L.,
n4
11 = 1
= -
(f (t)) 2 dt = -
(f (t)) 2 dt
1 i
1 !arr
2n [2rr)
n 0
= _!_ ( r b-a dt + r b+a ~ (b + a - !) 2 dt)
n Jo
l b- a 4a
= ~ ( b - ~) , après calculs.
~sin an sinbn __ a(n - b)
Réponse : L.,
n 2
2
,
11=1
U ne décomposition en éléme nts simples donne :
*
1
1
2
1
2
Vn E N ' n2(n + 1)2 = rz2 - ;; + (n + 1)2 + n + 1'
d'où, pour tout N de N* :
N
1
N
1
N
l
,~ n1(n + 1)2 =?; n2 + ,~ (n + t)2
N l
N
l
-2 L: ;; + 2 L: n + i
11= 1
11= 1
N
l
1
2
+oo l
=2 "" --1+
-2+ -
------+ 2"" --3.
,~ n2
(N+J)2
N+ 1 Noo ,~ n2
JT2 - 9
Réponse : - - -.
3
L'application x ~ x E ( ~) est continue par morceaux sur
]0; l ] et admet une limite fin ie (égale à 1) lorsque X -----+ o+,
donc est intégrable sur ]O; 1] . On a, en s' assurant de la convergence des séries utilisées :
y
0
n2
R éponse: 12
.
1 1
X
4 3
2
1 727
0
c
::J
0
(V)
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0
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a) Puisque f est 2n-périodique et conti nue, f E 'D2rr·
\ 7
Comme f est paire :
• Vn E N*, bn = 0
' I
0
' = /(1)
L\
b-a b+a n
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•Vn EN, a 11 = -
f(t) cosnt dt
JT 0
7
2 (lo b- a
l b+a b +a _ t
)
= :;:0
cosnt dt +
cos nt dt .
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2a
Si n ;;::: 1, o n obtient, à l'aide d'une intégration par parties :
_ 2 ([ sinnt ] b- a [b+ a-t sinnt ]b+a
a11- -
- -
+
- -
n
n
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2a
n
b- a
1 l b+a sin nt )
+- - dt
2a b-a
n
= _ 1_ [ -cosnt ]b+"
nan
n
b- ll
cosn(b - a) - cosn(b +a)
nan2
2 sin na sin nb
nan2
Et · .
2 (lc b- a
l b+a b + a - t )
2b
ao = -
dt +
dt = - .
n
0
b- a
2a
JT
Réponse :
2b
ao= -
n
Vn EN* ,
2 sin na sinnb
a,, = ----=--nan2
Vn E N*, b 11 = 0.
2
b) •Puisque la 11 I ,,;; - - 2
, la série de Fourier de f converge norn an
maternent (do nc uniformément et simplement) sur IR .
• Comme f E V2rr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR ,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conc lut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme f. On a
donc:
f
b
~ 2 sin na sinnb
Vt E IR,
(t) = - + L.,
2
cosnt.
n
n=I
nan
c) •En appliquant le résu ltat précédent à t = 0, o n obtient :
b
2 ~ sinna si nnb
1 =- +- L.,
.
n
na 11= 1
n2
•Puisque f E D2rr • o n peut appliquer la formule de Parseval
(7.2.3 Corollaire 1 p. 4 16); on obtient:
b
1 + ~ (2-)
2
~ sin
2 na sin
2 nb
n2
2 na
L.,
n4
11 = 1
= -
(f (t)) 2 dt = -
(f (t)) 2 dt
1 i
1 !arr
2n [2rr)
n 0
= _!_ ( r b-a dt + r b+a ~ (b + a - !) 2 dt)
n Jo
l b- a 4a
= ~ ( b - ~) , après calculs.
~sin an sinbn __ a(n - b)
Réponse : L.,
n 2
2
,
11=1
U ne décomposition en éléme nts simples donne :
*
1
1
2
1
2
Vn E N ' n2(n + 1)2 = rz2 - ;; + (n + 1)2 + n + 1'
d'où, pour tout N de N* :
N
1
N
1
N
l
,~ n1(n + 1)2 =?; n2 + ,~ (n + t)2
N l
N
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-2 L: ;; + 2 L: n + i
11= 1
11= 1
N
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1
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------+ 2"" --3.
,~ n2
(N+J)2
N+ 1 Noo ,~ n2
JT2 - 9
Réponse : - - -.
3
L'application x ~ x E ( ~) est continue par morceaux sur
]0; l ] et admet une limite fin ie (égale à 1) lorsque X -----+ o+,
donc est intégrable sur ]O; 1] . On a, en s' assurant de la convergence des séries utilisées :
y
0
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R éponse: 12
.
1 1
X
4 3
2
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