"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
•"ln EN,
21
4 fo1
an = -
f (t) cos 2nt dt = -
cos t cos 2nt dt
rr [rr l
rr 0
2
!!..
= ; Io
2
( cos(2n + l)t + cos(2n - l)t) dt
= ~ ( sin(n + Drr + sin(n - ~)rr)
rr
2n+l
2n-l
2(-W (
l
1 )
4(-l)n+ t
= - rr
- - 2fl + 1 - 2n - 1 = rr ( 4n 2 - 1) ·
l
'Vfl E P:I*,
Réponse:
"ln E P:I,
1
b11 =0
4(-l)n+ I
an = rr(4n2 - 1).
b) •Puisque la11 I ~ - - 2 , la série de Fourier de f converge nornoo nn
malement (donc uniformément et simplement) sur IR.
•Comme f E Drr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on vient aussi de voir autrement) et que
sa somme est f. On a donc :
2
+oo 4 (-l)n+ l
lcostl = - + L 2
cos2nt.
rr
n= l n(4n - 1)
Vt E IR,
rr
c) •En appliquant le résultat précédent à t = 0 et à t = 2 , on
obtient :
2
4 +oo ( -1 t
2
4 +oo
1
1 = ; - ; L 4n2 - 1 et 0 = ; - ; L 4n2 - l .
n=I
n=I
•Puisque f E CMrr, on peut appliquer la formule de Parseval
(7 .2.3 Corollaire 1 p. 416) ; on conclut que L ( ~ )
2
>- l rr(4n - 1)
ll r
converge et que :
(
2)
2
1 +oo
16
""i + 2 ~ rr2(4n2 - 1)2
l
2
!!..
1
= - f (f(t)) 2 dt= - f
2
cos 2 t dt= - .
rr lrrrl
rr Jo
2
+oo
l
1
Réponse :
~
- -
~ 4n2- J - 2'
n=l
+oo
1
rr 2
1
~ (4n2 -1)2 16 - 2
+oo (-1)"
L.:: 4n 2 -1
n=I
rr
2
4,
a) Il est clair que f est 2rr-périodique et continue, donc
f E D2rr·
y
y =f(t)
Puisque f est impaire :
• Vn EN, an= 0
•"ln E N*,
bn = -
sin 2 t sin nt dt= -
(1-cos 2t)sin nt dt
2 lorr
1 lorr
rr 0
rr 0
= ~ lorr (sin fit - ~(sin(n + 2)t + sin(n - 2)t)) dt.
Si n # 2, alors :
b
_ ~ [-cos nt
cos(n + 2)t
cos(n - 2)t] rr
n -
+
+ - - - -
rr
n
2(n + 2)
2(n - 2) o
1 - (-1)" ( 1
1
1
)
=
rr
~ - 2(n + 2) - 2(fl - 2) ·
Sin est pair et fi # 2, alors : bn = 0
Si fi est impair, alors: b 11 =
8
rrn(n2-4).
Enfin, b2 = ~ lorr ( sin 2t - ~ sin 4t) dt = 0.
Réponse:
a11 = 0
Vp EN*, b2p = 0
1
"ln EN,
Vp E P:I,
b
- -
8
2 p+l -
n(2p - 1)(2p + 1)(2p + 3)
l
b) •Puisque lb2 p+ 1 I ~ - - 3
, la série de Fourier de f converge
poo np
normalement (donc uniformément et simplement) sur IR .
• Comme f E D2rr et que f est de classe C
1 par morceaux sur IR,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme f.
On a donc: Vt E IR,
+oo
-8
f(t) = I; n(2p -1)(2p + 1)(2p + 3) sin(2p + l)t.
rr
c) •En appliquant le résultat précédent à t = 2
, on obtient :
8 +oo
(-l)P
1 = -; I; (2p - 1)(2p + 1)(2p + 3).
•Puisque f E D2rr· on peut appliquer la formule de Parseval
(7.2.3 Corollaire 1 p. 416); on obtient:
1 +oo (
-8
)2
2 1 ~ n(2p - 1)(2p + 1)(2p + 3)
= -
(J(t)) 2 dt = -
sin 4 t dt
1 1
1 !arr
2rr [2rr J
rr o
= _1 _ r ( 1 - 2 cos 2t + l + cos 4t)
4rr lo
2
,
+oo
( - l)n
rr
Reponse: L
= -n=O (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)
8 '
3
dt= 8'
+oo
1
L.::
2
n=O ( (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3))
3rr 2
256
0
c
::J
0
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ri
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N
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•"ln EN,
21
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an = -
f (t) cos 2nt dt = -
cos t cos 2nt dt
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= ; Io
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( cos(2n + l)t + cos(2n - l)t) dt
= ~ ( sin(n + Drr + sin(n - ~)rr)
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2n+l
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1 )
4(-l)n+ t
= - rr
- - 2fl + 1 - 2n - 1 = rr ( 4n 2 - 1) ·
l
'Vfl E P:I*,
Réponse:
"ln E P:I,
1
b11 =0
4(-l)n+ I
an = rr(4n2 - 1).
b) •Puisque la11 I ~ - - 2 , la série de Fourier de f converge nornoo nn
malement (donc uniformément et simplement) sur IR.
•Comme f E Drr et que f est de classe C 1 par morceaux sur IR,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on vient aussi de voir autrement) et que
sa somme est f. On a donc :
2
+oo 4 (-l)n+ l
lcostl = - + L 2
cos2nt.
rr
n= l n(4n - 1)
Vt E IR,
rr
c) •En appliquant le résultat précédent à t = 0 et à t = 2 , on
obtient :
2
4 +oo ( -1 t
2
4 +oo
1
1 = ; - ; L 4n2 - 1 et 0 = ; - ; L 4n2 - l .
n=I
n=I
•Puisque f E CMrr, on peut appliquer la formule de Parseval
(7 .2.3 Corollaire 1 p. 416) ; on conclut que L ( ~ )
2
>- l rr(4n - 1)
ll r
converge et que :
(
2)
2
1 +oo
16
""i + 2 ~ rr2(4n2 - 1)2
l
2
!!..
1
= - f (f(t)) 2 dt= - f
2
cos 2 t dt= - .
rr lrrrl
rr Jo
2
+oo
l
1
Réponse :
~
- -
~ 4n2- J - 2'
n=l
+oo
1
rr 2
1
~ (4n2 -1)2 16 - 2
+oo (-1)"
L.:: 4n 2 -1
n=I
rr
2
4,
a) Il est clair que f est 2rr-périodique et continue, donc
f E D2rr·
y
y =f(t)
Puisque f est impaire :
• Vn EN, an= 0
•"ln E N*,
bn = -
sin 2 t sin nt dt= -
(1-cos 2t)sin nt dt
2 lorr
1 lorr
rr 0
rr 0
= ~ lorr (sin fit - ~(sin(n + 2)t + sin(n - 2)t)) dt.
Si n # 2, alors :
b
_ ~ [-cos nt
cos(n + 2)t
cos(n - 2)t] rr
n -
+
+ - - - -
rr
n
2(n + 2)
2(n - 2) o
1 - (-1)" ( 1
1
1
)
=
rr
~ - 2(n + 2) - 2(fl - 2) ·
Sin est pair et fi # 2, alors : bn = 0
Si fi est impair, alors: b 11 =
8
rrn(n2-4).
Enfin, b2 = ~ lorr ( sin 2t - ~ sin 4t) dt = 0.
Réponse:
a11 = 0
Vp EN*, b2p = 0
1
"ln EN,
Vp E P:I,
b
- -
8
2 p+l -
n(2p - 1)(2p + 1)(2p + 3)
l
b) •Puisque lb2 p+ 1 I ~ - - 3
, la série de Fourier de f converge
poo np
normalement (donc uniformément et simplement) sur IR .
• Comme f E D2rr et que f est de classe C
1 par morceaux sur IR,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet (7.3.2 Théorème
p. 420) ; on conclut que la série de Fourier de f converge simplement sur IR (ce qu'on savait déjà) et a pour somme f.
On a donc: Vt E IR,
+oo
-8
f(t) = I; n(2p -1)(2p + 1)(2p + 3) sin(2p + l)t.
rr
c) •En appliquant le résultat précédent à t = 2
, on obtient :
8 +oo
(-l)P
1 = -; I; (2p - 1)(2p + 1)(2p + 3).
•Puisque f E D2rr· on peut appliquer la formule de Parseval
(7.2.3 Corollaire 1 p. 416); on obtient:
1 +oo (
-8
)2
2 1 ~ n(2p - 1)(2p + 1)(2p + 3)
= -
(J(t)) 2 dt = -
sin 4 t dt
1 1
1 !arr
2rr [2rr J
rr o
= _1 _ r ( 1 - 2 cos 2t + l + cos 4t)
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,
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( - l)n
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Reponse: L
= -n=O (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3)
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n=O ( (2n - 1)(2n + 1)(2n + 3))
3rr 2
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