"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Cn(j) = -
j(t) e- tnwt dt
1 i .
T [T]
Et -
ei 1 i .
{ 1
T [T ]
0
si k = n
si k i= n '
cf. 7.2.2 Prop. l p. 414.
Réponse : en (f) = { ~n
si lnl ~ N
si lnl > N
On a, avec les notations ek et 11.11 2 du Cours, et puisque
(e 1 , ... ,e 11 ) est une famille orthogonale pour le produit scalaire
du Cours:
Il
'1
= L lak l
2 = LM
2 = M
2 n .
k= I
k= I
D'où :
1 12" 1 n . 12
= -
L ake•kt dt
2rr a
k=I
1
I "
12
·
iW
~ - 2rr Sup L ake
,
2rr
IER
k=I
puis le résultat demandé.
Il est clair que g est continue, et de classe C 1 par morceaux.
De plus:
\:/t E IR, g(t + T) = fo
1
f(u) du + ir+T f (u) du
= g (t) + Tco(f) = g(t ) ,
donc g est T-périodique.
D'après le théorème de convergence normale (cf. 7.3.1 Th.
p. 420), la série de Fourier de g converge normalement sur IR
et a pour somme g.
Puisque s 11 ------+ 0, il existe no E N tel que Sna < 1. Puis il
1100
1
existen1 EN telque: n1 > noet sn 1 < 2·
Un raisonnement par récurrence immédiat permet de construire
une suite (nk)kEN telle que :
l
(nk)kEN est stricte~ent croissante
\:/k E N, Snk < 2
k
La série L (t r------+ Snkcos(nkt)) est normalement convergente
k;;,O
sur IR ; notons f sa somme.
D'après l'exercice 7.1.5 , f est continue, f E C2rr•
l {
ap(f) = Snk si p = nk, k EN
\:/p EN,
ap(f) = 0
sinon
bp(f) = 0
et {n EN; lan(f) I + lbn(f)I ~Sn}= {nk; k EN},
qui est infini.
a) L'application f est continue par morceaux sur IR, donc F
existe, F est de classe C
1 par morceaux et continue.
De plus, on a, pour tout x E IR :
r x+2rr
{ x
j x+2rr
F(x + 2rr) - F(x) = la f - la f = x f
[2"
=la f = 0,
et on conclut que F est 2rr-périodique.
b) L'application F est 2rr-périodique et C
1 par morceaux,
donc d'après le théorème de Dirichlet de convergence
simple, la série de Fourier de F converge simplement et a
pour somme la régularisée de F , c'est-à-dire F elle-même
puisque F est continue sur R
En notant a 11 , {3 11 les coefficients de Fourier trigonométriques
de F, on a donc, pour tout x E IR :
et
+oo
F(x) =
2
a + L(a 11 cos nt + {3 11 sin nt).
n= I
• On calcule aa à l'aide d'une intégration par parties :
cta = 2_ [2" F (t) dt
2rr la
= ~([(t-2rr)F(t)]~" -1
2
"(t- 2rr) f(t) dt)
1 12"
= -
(2rr - t)f(t) dt= 2C.
rr a
• On calcule de même a,, et {3 11 , pour tout n ;?: 1, à l'aide
d'une intégration par parties, ou bien on utilise les formules
du Cours donnant les coefficients de Fourier d'une dérivée.
a) Il est clair que f est rr-périodique et continue, donc f E Drr .
-n
2
Puisque f est paire :
•' y
0
n
2
,
,
,
1 725