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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
c) Cn(g N) = _l_ I: {T f (!_ + kT) e- inwt dt
NT k=O Jo
N
N
N - 1
(k+ l)T
=
_!._ "
{
N f (u) e- inw(Nu- kT) du
r kr T ~ }15r
11=N+N
k=O N
(
N - 1 ili:!2L.
)
= ~ L hr N f(u) e-i11 Nwu du e2i11krr
k=O N
1 !or .
= -
f(u) e - inNwu du= CnN(f) ·
T O
Réponse : Vn E Z, cn(g N) = CnNU).
• Vn E N* , lanl = 1 ~ { f(t) cos nwt dtl
T }[r]
~ ~ r lf(t) l lcos nwt l dt
T }[T]
~ ~ r lf(t) I t =Go, puisque! ~ O.
T JrTJ
•S'il y a égalité dans l'inégalité voulue , alors
{ lf(t) l(l - lcosnwt l) dt= O.
l[r]
Comme f est continue et que t r------+ 1 - !cos nwt 1 est continue ,~ 0, et ne s'annule (sur une période) qu'en un nombre fini
de points, on déduit que f s'annule sur [O; T] sauf en un
nombre fini de points. Mais, comme f est continue, on conclut
f = 0, contradiction.
Raisonnement analogue pour l'autre inégalité.
·vn ~ 2. 1b11 1= i ~ r tcr)sin nwtdt l
T } [T]
21 .
~ -
lf(t) l lsmnwt l dt.
T [r]
D'après l'exercice 7.8.3 d' Analyse MPSI:
Vn E N*, Vt E JR, lsinnwt l ~ n lsin wt l,
d'où :
4n 1!
Vn ~ 2, lbn l ~ -
l f(t) I sin wt dt= nb 1,
T o
puisque f est impaire et à va leurs ~ 0 sur [O; T].
• Comme g 11 : ~ ---+ IC
est continue et ~ 0 ,
11- • l/ (t)l(11 1 sin wt 1- 1sin11wtl)
s'il y a égalité dans l'inégalité voulue, alors g 11 s'annule sur
Mais, comme f E Cr et que t r------+ n 1 sin wt 1 - 1 sin nwt 1 ne
s'annule qu'en un nombre fini de points, on conclut alors
f = 0, contradiction.
1 la 2rr
a) b 11 (f) = -
f(t) sin nt dt
7r 0
211 - l
(k+ IJn
i L:~ . .
= -
f (t) sin nt dt
7r
kH
k=O ïï
12
11
-llo !!. (
k)
=
- L
11
f u + _!!_ sin(nu + kn) du
u=t- kj( n k=O 0
n
1 2
11
- l
la ! ! . ( k )
=- L: c-1 l
11 ! u +_!!_ sin nu du
n k=O
0
n
= _!._ I: [ 7i (t(u + 2pn)
n p= 0 Jo
n
(
(2p + l)n))
- f u+
n
sinnudu.
b) Puisque f décroît sur ]O; 2n[, o n a:
Vn E N*, Vp E {0, ... ,n - l }, Vu E Jo; ~ [ ,
(
2pn)
(
(2p + l)n) ,
f u+ - - - f u+
;::::: O.
n
n
D'autrepart: VnE N* , VuE [O;~ ] , sinnu ~ O.
On conclut: Vn E N*, bn (f) ~ O.
c.s.
a)• S 11 --------* f et chaque S 11 est T-périodique, donc f est T1100
périodique
c.u.
• S 11 --------* f et chaque S 11 est continue, donc f est continue.
1100
c.u.
b) Puisque les Sn sont continues sur [O; T] et que S 11 --------* f,
noo
on peut permuter f r et lim (cf. 5 .3.4 Théorème p. 330) d'où,
Jo noo
pour tout n de Z :
Cn (f) = -
f (t)e-tnwt dt
11 .
T [r]
= -
lim L Yketkwt e- tnwr dt
11 ( Ill . ) .
T [r] moo k= - m
= - lim L Yk e1(k-11)wr dt = Y11 ,
l
(
/11
1 . )
T moo k=-m
[r]
puisque _!._ r e i(k-11)w1 t = { 0
T hn
1
si k =I= n
si k = n
• f E Dr car f est combinaison linéaire de e- N , ... ,eN.
• Pour tout n de Z :
0
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f(u) e - inNwu du= CnN(f) ·
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Réponse : Vn E Z, cn(g N) = CnNU).
• Vn E N* , lanl = 1 ~ { f(t) cos nwt dtl
T }[r]
~ ~ r lf(t) l lcos nwt l dt
T }[T]
~ ~ r lf(t) I t =Go, puisque! ~ O.
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•S'il y a égalité dans l'inégalité voulue , alors
{ lf(t) l(l - lcosnwt l) dt= O.
l[r]
Comme f est continue et que t r------+ 1 - !cos nwt 1 est continue ,~ 0, et ne s'annule (sur une période) qu'en un nombre fini
de points, on déduit que f s'annule sur [O; T] sauf en un
nombre fini de points. Mais, comme f est continue, on conclut
f = 0, contradiction.
Raisonnement analogue pour l'autre inégalité.
·vn ~ 2. 1b11 1= i ~ r tcr)sin nwtdt l
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D'après l'exercice 7.8.3 d' Analyse MPSI:
Vn E N*, Vt E JR, lsinnwt l ~ n lsin wt l,
d'où :
4n 1!
Vn ~ 2, lbn l ~ -
l f(t) I sin wt dt= nb 1,
T o
puisque f est impaire et à va leurs ~ 0 sur [O; T].
• Comme g 11 : ~ ---+ IC
est continue et ~ 0 ,
11- • l/ (t)l(11 1 sin wt 1- 1sin11wtl)
s'il y a égalité dans l'inégalité voulue, alors g 11 s'annule sur
Mais, comme f E Cr et que t r------+ n 1 sin wt 1 - 1 sin nwt 1 ne
s'annule qu'en un nombre fini de points, on conclut alors
f = 0, contradiction.
1 la 2rr
a) b 11 (f) = -
f(t) sin nt dt
7r 0
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(k+ IJn
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f (t) sin nt dt
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(2p + l)n))
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sinnudu.
b) Puisque f décroît sur ]O; 2n[, o n a:
Vn E N*, Vp E {0, ... ,n - l }, Vu E Jo; ~ [ ,
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2pn)
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(2p + l)n) ,
f u+ - - - f u+
;::::: O.
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D'autrepart: VnE N* , VuE [O;~ ] , sinnu ~ O.
On conclut: Vn E N*, bn (f) ~ O.
c.s.
a)• S 11 --------* f et chaque S 11 est T-périodique, donc f est T1100
périodique
c.u.
• S 11 --------* f et chaque S 11 est continue, donc f est continue.
1100
c.u.
b) Puisque les Sn sont continues sur [O; T] et que S 11 --------* f,
noo
on peut permuter f r et lim (cf. 5 .3.4 Théorème p. 330) d'où,
Jo noo
pour tout n de Z :
Cn (f) = -
f (t)e-tnwt dt
11 .
T [r]
= -
lim L Yketkwt e- tnwr dt
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= - lim L Yk e1(k-11)wr dt = Y11 ,
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/11
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puisque _!._ r e i(k-11)w1 t = { 0
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1
si k =I= n
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• f E Dr car f est combinaison linéaire de e- N , ... ,eN.
• Pour tout n de Z :