"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
d'où:
+oo
Zn
+oo
L (-l)n- 1 _ l __ " = L . anB(zn)
-z
11= 1
.
n= I
+oo
+oo zP
= ~ bpA(zP) = ~ - -
L
L 1 + zP
p=l
p=l
2) En prenant a,,= n, bp = 1, on obtient:
+ oo
d ( +oo )
Z
A(z)=L:nz"=z -
L:z" =
2
dz
(1 - z)
n= I
n=O
+oo
z
et B(z) = L zP = - -,
1
l-z
p=
d'où:
+oo
z"
+ oo
zP
Ln 1 _ zn = L (1 _ zP)2 ·
n=I
p= I
3) En prenant a,, = (- l)n - ln, bp = 1,on obtient :
et
+ oo
A(z) = L(-I)"- 1 nzn
n=I
+oo
B(z) = ~ zP = -
2
- , d'où :
L
1 -z
p=I
+oo
n
+oo
p
~ (-1)"- 'n _z _ = ~
z
.
f:J
1 - z" {:I (1 + zP)2
1
4) En prenant an = - , bp = 1, on obtient:
n
+oo x"
A(x) = L: - = -ln(l -x)
n=1 n
+oo
X
etB(x) = ~ xP = - - ,
L
1-x
p=l
d'où :
+oo 1
xn
+oo
~ - - - =- ~ln( I -xP).
Ln 1- x"
L
n=I
p= I
(-l)n-1
5) En prenant an =
, bp = 1, on obtient:
n
+oo (-1)"-l
A(x)=L
x"=ln(l+x)
n= I
n
+oo
X
et B(x) = ~ x" = - -,
L
1 -x
p= l
d'où:
~ (-1)"-l
x"
+oo
L - - - - - = Lln(l +x") .
n
__ 1
n
1 -x"
p=l
1
6) En prenant a,, = -, bp = 1, on obtient:
n!
+oo 1
A(z) = L - z" = ez - 1
n=l n!
et
+oo
Z
B(z) = ~ zP = -
,
L
1- z
p= l
d'où:
+oo 1
z"
+oo
L
L
z"
- - - =
(e -1).
n! 1 - zn
n=l
p=l
c) En prenant a,, =a" et bp = 1, on peut appliquer a), et
+oo
az
+oo
z
A(z) = ~ a" zn = - - , B(z) = ~ z" = --, d'où :
L
1 -az
L
1 -z
n= l
p= I
Chapit~e 7
On vérifie aisément que les fonctions considérées sont bien dans
CMT.
a) Cn(g) = -
e1Nwt f(t) e - Inwt dt
1 [
.
.
T [T]
= -
f(t) e -l(n - N)wt dt= Cn-N U).
11 .
T rTJ
Réponse: Vn E Z, c,,(g) = Cn - NCf).
b) CnCfN) = _.!._ { f(Nt)e - Crnwt dt
T }[T]
1 laNT
. "
= -
f (u) e-lllw;v du
u=Nt NT o
1 N- l 1 (k+ 1)T
.
~
Inam
= - L
f (u)e-lr du
NT k=O kT
1 N-llaT ~
i11wv
in kwT
=
-
L
f(v)e _lr _ _ N _ dv
u=u- kT NT k=O o
1
(
N-1 2 . ) laT
.
'"'"' _ _!!!.!.!.k
_ l11wv
= -
L e N
f (v)e N d v.
NT k=O
O
2iirn
'
•Si N Y n, alors e-lr est une racine Neme de 1 autre que 1,
donc:
N -1 .
- 2hrn
1
~ _ 2'"" k
e
-
-- 0,
Le N = 2;,, ..
k=O
e-1r - 1
d'où Cn = O.
•Si N 1 n,
1
laT
. , ,
alorscnCfN) = -
N
f(v) e- I ;vwu dv =en (f) .
NT
o
N
1
C.!1_ (f)
Réponse: Vn E Z , Cn(fN) =
0
N
si Nin
si N y n
1 723
0
c
::J
0
(V)
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>0.
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d'où:
+oo
Zn
+oo
L (-l)n- 1 _ l __ " = L . anB(zn)
-z
11= 1
.
n= I
+oo
+oo zP
= ~ bpA(zP) = ~ - -
L
L 1 + zP
p=l
p=l
2) En prenant a,,= n, bp = 1, on obtient:
+ oo
d ( +oo )
Z
A(z)=L:nz"=z -
L:z" =
2
dz
(1 - z)
n= I
n=O
+oo
z
et B(z) = L zP = - -,
1
l-z
p=
d'où:
+oo
z"
+ oo
zP
Ln 1 _ zn = L (1 _ zP)2 ·
n=I
p= I
3) En prenant a,, = (- l)n - ln, bp = 1,on obtient :
et
+ oo
A(z) = L(-I)"- 1 nzn
n=I
+oo
B(z) = ~ zP = -
2
- , d'où :
L
1 -z
p=I
+oo
n
+oo
p
~ (-1)"- 'n _z _ = ~
z
.
f:J
1 - z" {:I (1 + zP)2
1
4) En prenant an = - , bp = 1, on obtient:
n
+oo x"
A(x) = L: - = -ln(l -x)
n=1 n
+oo
X
etB(x) = ~ xP = - - ,
L
1-x
p=l
d'où :
+oo 1
xn
+oo
~ - - - =- ~ln( I -xP).
Ln 1- x"
L
n=I
p= I
(-l)n-1
5) En prenant an =
, bp = 1, on obtient:
n
+oo (-1)"-l
A(x)=L
x"=ln(l+x)
n= I
n
+oo
X
et B(x) = ~ x" = - -,
L
1 -x
p= l
d'où:
~ (-1)"-l
x"
+oo
L - - - - - = Lln(l +x") .
n
__ 1
n
1 -x"
p=l
1
6) En prenant a,, = -, bp = 1, on obtient:
n!
+oo 1
A(z) = L - z" = ez - 1
n=l n!
et
+oo
Z
B(z) = ~ zP = -
,
L
1- z
p= l
d'où:
+oo 1
z"
+oo
L
L
z"
- - - =
(e -1).
n! 1 - zn
n=l
p=l
c) En prenant a,, =a" et bp = 1, on peut appliquer a), et
+oo
az
+oo
z
A(z) = ~ a" zn = - - , B(z) = ~ z" = --, d'où :
L
1 -az
L
1 -z
n= l
p= I
Chapit~e 7
On vérifie aisément que les fonctions considérées sont bien dans
CMT.
a) Cn(g) = -
e1Nwt f(t) e - Inwt dt
1 [
.
.
T [T]
= -
f(t) e -l(n - N)wt dt= Cn-N U).
11 .
T rTJ
Réponse: Vn E Z, c,,(g) = Cn - NCf).
b) CnCfN) = _.!._ { f(Nt)e - Crnwt dt
T }[T]
1 laNT
. "
= -
f (u) e-lllw;v du
u=Nt NT o
1 N- l 1 (k+ 1)T
.
~
Inam
= - L
f (u)e-lr du
NT k=O kT
1 N-llaT ~
i11wv
in kwT
=
-
L
f(v)e _lr _ _ N _ dv
u=u- kT NT k=O o
1
(
N-1 2 . ) laT
.
'"'"' _ _!!!.!.!.k
_ l11wv
= -
L e N
f (v)e N d v.
NT k=O
O
2iirn
'
•Si N Y n, alors e-lr est une racine Neme de 1 autre que 1,
donc:
N -1 .
- 2hrn
1
~ _ 2'"" k
e
-
-- 0,
Le N = 2;,, ..
k=O
e-1r - 1
d'où Cn = O.
•Si N 1 n,
1
laT
. , ,
alorscnCfN) = -
N
f(v) e- I ;vwu dv =en (f) .
NT
o
N
1
C.!1_ (f)
Réponse: Vn E Z , Cn(fN) =
0
N
si Nin
si N y n
1 723