"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
d'où:
Ré( sin z)=0{:::::::} sinx chy= O {::::::::} sinx =O.
Réponse:
{nn + iy; (n ,y) E Z x IR}.
h) On a, pour tout z de C :
ch z - sin z =ch z - ch ( i ( ~ - z))
(
l+i
n) (1-i n)
=2sh - 2
- z - i4" sh - 2
- z + i4 .
Et: 'V z E C,
( sh Z= O {::::::::} e 2 =e- z {::::::::} e 22 = 1 {::::::::} Z E in z ).
Réponse:
{
l +si
}
-
4
- n(4sn + l ) ; (s,n) E {- 1, l} x Z .
c) D'après l'exercice 6.6.4 :
lcos zl = lsin zl {::::::::} cos
2 x + sh
2 y= ch
2 y - cos
2 x
{::::::::} 2 cos
2 x = 1.
,
{n n .
}
Reponse:
4
+ n 2
+ 1y; (n ,y) E Z x IR .
a) Pour parenthéser X 1 X 2 ... X 11 (n ~ 2) , on groupe, par un
premier parenthésage, X 1 ... Xk d'une part, Xk+ 1 ••• Xn d'autre
part, puis dans le groupement X 1 ... Xk (resp. X k+ 1 ..• Xn ),
11 - I
il y a Gk (resp. an- k) parenthésages. D'où : a 11 = L aka11-k·
k= I
h) On a: 'V x E] - R ; R[,
+oo
+oo ( 11- J
)
S(x) = x + l: a11x 11 = x + L L akan- k x 11
11=2
11=2
k=I
= x + (S(x))
2
,
par produit de Cauchy de deux séries entières.
1
c) 1) D'après les DSE(O) usuels, f est dSE(O), de rayon 4 , et
1 1
pour tout x de] - 4
; 4
[:
f(x) ~ -~ Î: ~ (-D G-n) (-l)'(4x)'
2 n=l
n!
+ Loo (2n - 3)(2n - 5) ... 3.1 11 11
=x +
4x
2n+ln!
n=2
~ (2n - 2) ! n ~ 1 en-. 1 11
= L_,
1 1 X = L_, - 2n - 2X .
11 = 1 (n - l ) .n .
n= l n
1 c11- I
2) Notons ho = 0 et h11 = - 2 11 - 2 pour n ~ 1.
n
Comme f vérifie :
1 1
'Vx E] - 4; 4L (f(x)) 2 - f(x) +x = 0 ,
la suite (hn)n;;,O sati sfait la même récurrence que (a 11 )n;;,O :
n- 1
ho= 0, hi = 1, hn = Lhkhn - k·
k= l
JI s'ensuit : 'V n E N, h 11 =a,,.
1) a) On suppose ici que la série numérique L a 11 diverge, et
n;;, 1
on note R le rayon de la série entière L a 11 z
11
; on a donc
n;;, l
R ::::; 1.
•Soit z E C tel que lzl < R (donc lzl < 1).
Comme l - Z
11
~ . l , on a la11 - .
211
1 ~ la11z
11 I.
11 00
1 - Z 11 noo
Puisque L Gn Z
11 est absolument convergente, il en résulte que
n ) I
Zn
la série de Lambe rt '°"'an - - est absolument converL.,.,
1 - z"
n ) l
gente.
•Soit z E C tel que lzl > R et lzl =f:. 1.
Jer cas: lzl < 1
1
z" 1
Alors a11 - - ~ . la11z" I
1 - 2 11 1100
et (anz
11 )n ;;, 1 n'est pas bornée
(car lzl > R ), donc (a 11 ___::____ ) n'est pas bornée, et la
1 -zn n;;, l
n
série de Lambert'°"' a 11 -. _ z_ diverge.
L.,.,
1 - Z 11
n;;,1
2 ème cas: lzl > 1
z"
.
Supposons que L a,, - . .
1
- - n smt convergente.
n;;, l
- z
Alors la série entière '°"' ~ zn (variable Z, pour z fi xé)
L.,., 1 - z"
n;;, 1
estderayon ~ lzl, doncconvergeaupointZ = l (car lz l > 1),
et donc la série '°"' ~ converge (absolument).
L.,., 1 - z"
n;;, 1
an
anzn
Mais, comme : 'Vn E N*, a - - - - - -
n - l - zn
1 - zn ,
il en résulte que la série L a 11 converge, contradiction.
n ) l
Il
Ceci montre que la série de Lambert '°"' a 11 _ z_ diverge.
L.,.,
1 - Z 11
n ) l
2) a) Cf. la solution de l'exercice 6.2.2 p. 706, utilisant le théorème de Fubini.
b) 1) En prenant a 11 = (-1 )
11
-
1 , bp = 1, on obtient:
+oo
A(z) = L (- l)"+ l zn = _ z _
11 = 1
1 + z
+oo
et B(z) = '°"' zP = -
2
- ,
L.,.,
1 - z
p= I
0
c
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Ré( sin z)=0{:::::::} sinx chy= O {::::::::} sinx =O.
Réponse:
{nn + iy; (n ,y) E Z x IR}.
h) On a, pour tout z de C :
ch z - sin z =ch z - ch ( i ( ~ - z))
(
l+i
n) (1-i n)
=2sh - 2
- z - i4" sh - 2
- z + i4 .
Et: 'V z E C,
( sh Z= O {::::::::} e 2 =e- z {::::::::} e 22 = 1 {::::::::} Z E in z ).
Réponse:
{
l +si
}
-
4
- n(4sn + l ) ; (s,n) E {- 1, l} x Z .
c) D'après l'exercice 6.6.4 :
lcos zl = lsin zl {::::::::} cos
2 x + sh
2 y= ch
2 y - cos
2 x
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2 x = 1.
,
{n n .
}
Reponse:
4
+ n 2
+ 1y; (n ,y) E Z x IR .
a) Pour parenthéser X 1 X 2 ... X 11 (n ~ 2) , on groupe, par un
premier parenthésage, X 1 ... Xk d'une part, Xk+ 1 ••• Xn d'autre
part, puis dans le groupement X 1 ... Xk (resp. X k+ 1 ..• Xn ),
11 - I
il y a Gk (resp. an- k) parenthésages. D'où : a 11 = L aka11-k·
k= I
h) On a: 'V x E] - R ; R[,
+oo
+oo ( 11- J
)
S(x) = x + l: a11x 11 = x + L L akan- k x 11
11=2
11=2
k=I
= x + (S(x))
2
,
par produit de Cauchy de deux séries entières.
1
c) 1) D'après les DSE(O) usuels, f est dSE(O), de rayon 4 , et
1 1
pour tout x de] - 4
; 4
[:
f(x) ~ -~ Î: ~ (-D G-n) (-l)'(4x)'
2 n=l
n!
+ Loo (2n - 3)(2n - 5) ... 3.1 11 11
=x +
4x
2n+ln!
n=2
~ (2n - 2) ! n ~ 1 en-. 1 11
= L_,
1 1 X = L_, - 2n - 2X .
11 = 1 (n - l ) .n .
n= l n
1 c11- I
2) Notons ho = 0 et h11 = - 2 11 - 2 pour n ~ 1.
n
Comme f vérifie :
1 1
'Vx E] - 4; 4L (f(x)) 2 - f(x) +x = 0 ,
la suite (hn)n;;,O sati sfait la même récurrence que (a 11 )n;;,O :
n- 1
ho= 0, hi = 1, hn = Lhkhn - k·
k= l
JI s'ensuit : 'V n E N, h 11 =a,,.
1) a) On suppose ici que la série numérique L a 11 diverge, et
n;;, 1
on note R le rayon de la série entière L a 11 z
11
; on a donc
n;;, l
R ::::; 1.
•Soit z E C tel que lzl < R (donc lzl < 1).
Comme l - Z
11
~ . l , on a la11 - .
211
1 ~ la11z
11 I.
11 00
1 - Z 11 noo
Puisque L Gn Z
11 est absolument convergente, il en résulte que
n ) I
Zn
la série de Lambe rt '°"'an - - est absolument converL.,.,
1 - z"
n ) l
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•Soit z E C tel que lzl > R et lzl =f:. 1.
Jer cas: lzl < 1
1
z" 1
Alors a11 - - ~ . la11z" I
1 - 2 11 1100
et (anz
11 )n ;;, 1 n'est pas bornée
(car lzl > R ), donc (a 11 ___::____ ) n'est pas bornée, et la
1 -zn n;;, l
n
série de Lambert'°"' a 11 -. _ z_ diverge.
L.,.,
1 - Z 11
n;;,1
2 ème cas: lzl > 1
z"
.
Supposons que L a,, - . .
1
- - n smt convergente.
n;;, l
- z
Alors la série entière '°"' ~ zn (variable Z, pour z fi xé)
L.,., 1 - z"
n;;, 1
estderayon ~ lzl, doncconvergeaupointZ = l (car lz l > 1),
et donc la série '°"' ~ converge (absolument).
L.,., 1 - z"
n;;, 1
an
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Mais, comme : 'Vn E N*, a - - - - - -
n - l - zn
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il en résulte que la série L a 11 converge, contradiction.
n ) l
Il
Ceci montre que la série de Lambert '°"' a 11 _ z_ diverge.
L.,.,
1 - Z 11
n ) l
2) a) Cf. la solution de l'exercice 6.2.2 p. 706, utilisant le théorème de Fubini.
b) 1) En prenant a 11 = (-1 )
11
-
1 , bp = 1, on obtient:
+oo
A(z) = L (- l)"+ l zn = _ z _
11 = 1
1 + z
+oo
et B(z) = '°"' zP = -
2
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L.,.,
1 - z
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