-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Puisque la série L la,, I converge, par théorè me de majoran ~O
+oo
tio n, la série L L l a;,l 1 converge.
11 ;;,0 k= I
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo +oo
+oo +oo
LL a~l= L:L: a~l,
n=Ük=l
k= l n=O
d'où: ~ l :n~nZ = ~ (~ a~)l = O.
n=O
k= I
n=O
1
Ainsi, pour tout z de C tel que lzl < M :
L ~ + L a,,z =0.
l 1 - a,,z
"' l 1 - anz
ne
ne n -
1
•On a, pour tout z de IC tel que lzl < M :
1
L an z 1 ~ L lan z 1
neN - t 1 - anz
neN- 1 1 - lanz l
~
lanz l
1
+oo
~ M-M' Llan l·
~ L.,
M '
neN- 1 1 _ -
M
n=O
Ceci montre que z 1---+ L ~ est bornée sur le disque
"' l 1 - Gn Z
nenouvert B ( O; ~).
•D'autre part, 1 est fini , et en notant J = {n EN ; a 11 = a,, 1 },
1 , li ·
~
a,, z d
l" · fi ·
1
app cation z 1---+ L., - . - - a met une lllllte rue en - ,
net - J l - a,,z
M
1
donc est bornée au voisinage de M, et l'application
~ a,,z
Mz
z 1---+ L.,
= Card(l) .
est de
nel l - anz
l-Mz
l
en module, lorsque z tend vers M .
Il en résulte une contradiction.
Finalement: Vn E N, a,, =O.
limite infinie
Remarquons d'abord que, puisque (a 11 ) 11 ;;,o est bornée, la série
x"
entière L a, , 1 e st de rayon infini et que sa somme, notée
n;;,O n .
S est continue sur l!L
Notons, pour tout n de N , fn : [0; +oo[---+ IR .
x~a x" e-2x
,, n!
Alors :
• pour tout n de N , fn est continue par morceaux et intégrable
sur [0; +oo[
• L fn converge simplem ent sur [O; +oo[
n;;,O
+oo
• L fn : x 1---+ S(x)e- 2 x est conti nue par morceaux sur
n=O
[O; + oo[
• L li . 1 fn 1 converge car, pour tout n de N :
n;;,O [O;+oo[
= __ l _ r+ oo yn e- Y dy
(y=2x] n!2n+ I Jo
1
1
= - -
1
ï(n+l) = - 1
.
n!2n+
2n+
D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. p. 341),
x 1---+ S(x)e- 2 x est intégrable sur [O; +oo[, et :
r+oo
+oo r+oo
Jo S(x )e2 xdx = L Jo fn(x)dx.
0
n=O 0
D'où:
r+oo
n
= Jo ( S(x) - L fk(x)) dx
0
k=O
!o
+oo
n !o+oo
=
S(x) dx - L
fk(x) dx ~O.
0
k=O O
noo
Soient zo E IC tel que lzol < R , et z E IC tel que
lz - zol < R - lzol.
Notons h = z - zo ; o n a donc z = zo + h et
lzl = lzo + hl ~ lzo l + lhl < lzol + (R - lzol) = R,
d'où:
~
n ~ ( ~ ck n-k k)
S(z) = f=' o an (zo + h) = f=' o an ~ nZo h .
Notons, pour (n,k) E N 2 ,
{
C
k
n- k k
Un ,k =
,,an ~o h
+oo +oo
On a donc : S(z) = L L Un ,k·
n=O k=O
si k ~ n
si k > n.
Pour tout n de N, L lun,k 1 converge (car les termes sont nuls
k;;,0
à partir d'un certain rang), et :
+oo
/1
L lun,kl = L IC~anzô-khk l = la,, l(lzol + lhl)" .
k=O
k=O
Comme lzol + lhl < R , la sé rie L la,, l(lzol + lhl)"
n;;,O
converge, et donc L ( ~ 1Un ,k1) converge.
n;;,O k=O
Il en résulte (cf. 4.3. 11 , théorème de Fubini) :
• pour tout k de N, L u,,,k converge
n;;,O
0
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Puisque la série L la,, I converge, par théorè me de majoran ~O
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tio n, la série L L l a;,l 1 converge.
11 ;;,0 k= I
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo +oo
+oo +oo
LL a~l= L:L: a~l,
n=Ük=l
k= l n=O
d'où: ~ l :n~nZ = ~ (~ a~)l = O.
n=O
k= I
n=O
1
Ainsi, pour tout z de C tel que lzl < M :
L ~ + L a,,z =0.
l 1 - a,,z
"' l 1 - anz
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1
•On a, pour tout z de IC tel que lzl < M :
1
L an z 1 ~ L lan z 1
neN - t 1 - anz
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lanz l
1
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~ M-M' Llan l·
~ L.,
M '
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M
n=O
Ceci montre que z 1---+ L ~ est bornée sur le disque
"' l 1 - Gn Z
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•D'autre part, 1 est fini , et en notant J = {n EN ; a 11 = a,, 1 },
1 , li ·
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1
app cation z 1---+ L., - . - - a met une lllllte rue en - ,
net - J l - a,,z
M
1
donc est bornée au voisinage de M, et l'application
~ a,,z
Mz
z 1---+ L.,
= Card(l) .
est de
nel l - anz
l-Mz
l
en module, lorsque z tend vers M .
Il en résulte une contradiction.
Finalement: Vn E N, a,, =O.
limite infinie
Remarquons d'abord que, puisque (a 11 ) 11 ;;,o est bornée, la série
x"
entière L a, , 1 e st de rayon infini et que sa somme, notée
n;;,O n .
S est continue sur l!L
Notons, pour tout n de N , fn : [0; +oo[---+ IR .
x~a x" e-2x
,, n!
Alors :
• pour tout n de N , fn est continue par morceaux et intégrable
sur [0; +oo[
• L fn converge simplem ent sur [O; +oo[
n;;,O
+oo
• L fn : x 1---+ S(x)e- 2 x est conti nue par morceaux sur
n=O
[O; + oo[
• L li . 1 fn 1 converge car, pour tout n de N :
n;;,O [O;+oo[
= __ l _ r+ oo yn e- Y dy
(y=2x] n!2n+ I Jo
1
1
= - -
1
ï(n+l) = - 1
.
n!2n+
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D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. p. 341),
x 1---+ S(x)e- 2 x est intégrable sur [O; +oo[, et :
r+oo
+oo r+oo
Jo S(x )e2 xdx = L Jo fn(x)dx.
0
n=O 0
D'où:
r+oo
n
= Jo ( S(x) - L fk(x)) dx
0
k=O
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+oo
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=
S(x) dx - L
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0
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noo
Soient zo E IC tel que lzol < R , et z E IC tel que
lz - zol < R - lzol.
Notons h = z - zo ; o n a donc z = zo + h et
lzl = lzo + hl ~ lzo l + lhl < lzol + (R - lzol) = R,
d'où:
~
n ~ ( ~ ck n-k k)
S(z) = f=' o an (zo + h) = f=' o an ~ nZo h .
Notons, pour (n,k) E N 2 ,
{
C
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n- k k
Un ,k =
,,an ~o h
+oo +oo
On a donc : S(z) = L L Un ,k·
n=O k=O
si k ~ n
si k > n.
Pour tout n de N, L lun,k 1 converge (car les termes sont nuls
k;;,0
à partir d'un certain rang), et :
+oo
/1
L lun,kl = L IC~anzô-khk l = la,, l(lzol + lhl)" .
k=O
k=O
Comme lzol + lhl < R , la sé rie L la,, l(lzol + lhl)"
n;;,O
converge, et donc L ( ~ 1Un ,k1) converge.
n;;,O k=O
Il en résulte (cf. 4.3. 11 , théorème de Fubini) :
• pour tout k de N, L u,,,k converge
n;;,O