"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. p. 341 ),
x r---+ S(x)e- x est intégrable sur [O; +oo[, et:
r +oo
+ oo
Jo S(x)e-x dx = L ln
O
n=O
+ oo
+ oo
= L :~ f (n+ 1) =Lan.
n=O ·
n=O
a) • Convergence simple :
Soit x E]O; +oo[. La série L (-l)n e - À,,x relève du TSCSA,
11 ;;,0
puisque (e- À"x)n ;;,O décroît et tend vers 0, donc L ln(x)
n;;,O
converge.
• Convergence uniforme :
Puisque, pour tout x de ]O; +oo[, L ln (x) relève du TSCSA,
n;;,O
on a, pour tout n de N et tout x de ]O; +oo[ :
1
~ (- l )ke- Àkx l::;;: e-À,,+ ix.
k=11+l
Pour tout a de ]0; +oo[ :
Sup 1 ~ (- l )ke- Àkxl ~ e - À,,+ 1a ~ 0,
xE [a :+ oo[ k=n+ 1
1100
donc L 1 11 converge uniformément sur [a; +oo[.
n;;,O
Enfin, si L ln convergeait uniformément sur ]O; +oo[, comme,
n;;,O
pourtoutn deN,Jn(x) ~ (- l )n , lasérie L(- 1)" serait
x-> O+
n;;,O
convergente, contradiction.
Réponse:
• L ln converge simplement sur ]O; +oo[
n;;,O
• L ln co nverge uniformément s ur tout [a ; + oo[,
n;;,O
a E]O; +oo[, mais non sur ]0; +oo[.
h) La méthode utilisée dans la so lutio n de l'exercice 6.5.30 ne
' I"
· ·
'°' (-l)n ' b 1
s app 1que pas 1c1, car~ - - n est pas a so ument converÀn
n;;,O
gente, a priori (exemple : Àn = n + 1 ) .
Soit (a ,h) E IR 2 tel que 0 < a ~ h.
Puisque chaque ln est continue sur [a ; h] et que L ln converge
11 ;;,0
uniformément sur [a; h], S est continue sur [a; h] , et :
1 b S(x)dx = ~ 1 b ln(x) dx
a
n=O a
+ oo
e-1..,,a _ e-1..,,b
=2= (-l)n _ _ _
n=O
Àn
Notons, pour n E N, g 11 : [0; +oo[----+ IR .
e - ÀnX
X t---'> ( - ) )
11 J:;;0 n montre, en utilisant le TSCSA, que L g 11 converge
n;;,O
uniformément sur [O; +oo[ .
+ oo
Notons T = L g 11 ; on a donc:
n=O
1 b S(x) dx = T(a ) - T (h).
Comme, pour tout n de N ,
(-l)n
gn(a) ~ g 11 (0) = - -
a->O+
Àn
on déduit :
e t qu e
+oo (-1)11
T(a) ~ L -- et T (h) ~O.
a->O+ n=O À11
b->+oo
1
->+oo
Ceci montre que l'intégrale impropre
S (x) dx converge,
-> O
et que:
!o
+oo
S(x) dx = lim T(a) - lim T(h)
O
a-> 0+
b->+oo
Puisque la série L la 11 1 converge, la suite (a,,),, ;;,o est bornée ;
n;;,O
notons M = Sup lan 1.
n EN
Si M = 0 , alors, pour tout n de N, a 11 =O.
Supposons donc M > 0 .
Comme, pour tout k de N*:
la série La~ est absolument convergente.
n;;,O
En utilisant an ~ 0 , montrer qu'il existe n 1 E N tel que
11 00
la 11 1 I = M , etque l'ensemble / = {n E N; la 11 I = M} estfini .
Notons M ' = Sup lan l ; montrer M ' < M.
nEN- 1
Pour z E C, considérons la suite double (a~/)(n ,k)eNxN• .
On a: V'(n ,k) E N x N*,
l a~zkl = I~ lk IMd ~ I ~ l IMz(
1
Supposons lz l < M.
Pour tout n E N, la série L l a~ l l converge et :
k;;, 1
~ lak kl ~ 1a,, 1 ~ IM 1 k-1 = 1a"1 1 .
b ,, z "' M b z
M 1 - IMzl
1 719
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. p. 341 ),
x r---+ S(x)e- x est intégrable sur [O; +oo[, et:
r +oo
+ oo
Jo S(x)e-x dx = L ln
O
n=O
+ oo
+ oo
= L :~ f (n+ 1) =Lan.
n=O ·
n=O
a) • Convergence simple :
Soit x E]O; +oo[. La série L (-l)n e - À,,x relève du TSCSA,
11 ;;,0
puisque (e- À"x)n ;;,O décroît et tend vers 0, donc L ln(x)
n;;,O
converge.
• Convergence uniforme :
Puisque, pour tout x de ]O; +oo[, L ln (x) relève du TSCSA,
n;;,O
on a, pour tout n de N et tout x de ]O; +oo[ :
1
~ (- l )ke- Àkx l::;;: e-À,,+ ix.
k=11+l
Pour tout a de ]0; +oo[ :
Sup 1 ~ (- l )ke- Àkxl ~ e - À,,+ 1a ~ 0,
xE [a :+ oo[ k=n+ 1
1100
donc L 1 11 converge uniformément sur [a; +oo[.
n;;,O
Enfin, si L ln convergeait uniformément sur ]O; +oo[, comme,
n;;,O
pourtoutn deN,Jn(x) ~ (- l )n , lasérie L(- 1)" serait
x-> O+
n;;,O
convergente, contradiction.
Réponse:
• L ln converge simplement sur ]O; +oo[
n;;,O
• L ln co nverge uniformément s ur tout [a ; + oo[,
n;;,O
a E]O; +oo[, mais non sur ]0; +oo[.
h) La méthode utilisée dans la so lutio n de l'exercice 6.5.30 ne
' I"
· ·
'°' (-l)n ' b 1
s app 1que pas 1c1, car~ - - n est pas a so ument converÀn
n;;,O
gente, a priori (exemple : Àn = n + 1 ) .
Soit (a ,h) E IR 2 tel que 0 < a ~ h.
Puisque chaque ln est continue sur [a ; h] et que L ln converge
11 ;;,0
uniformément sur [a; h], S est continue sur [a; h] , et :
1 b S(x)dx = ~ 1 b ln(x) dx
a
n=O a
+ oo
e-1..,,a _ e-1..,,b
=2= (-l)n _ _ _
n=O
Àn
Notons, pour n E N, g 11 : [0; +oo[----+ IR .
e - ÀnX
X t---'> ( - ) )
11 J:;;0 n montre, en utilisant le TSCSA, que L g 11 converge
n;;,O
uniformément sur [O; +oo[ .
+ oo
Notons T = L g 11 ; on a donc:
n=O
1 b S(x) dx = T(a ) - T (h).
Comme, pour tout n de N ,
(-l)n
gn(a) ~ g 11 (0) = - -
a->O+
Àn
on déduit :
e t qu e
+oo (-1)11
T(a) ~ L -- et T (h) ~O.
a->O+ n=O À11
b->+oo
1
->+oo
Ceci montre que l'intégrale impropre
S (x) dx converge,
-> O
et que:
!o
+oo
S(x) dx = lim T(a) - lim T(h)
O
a-> 0+
b->+oo
Puisque la série L la 11 1 converge, la suite (a,,),, ;;,o est bornée ;
n;;,O
notons M = Sup lan 1.
n EN
Si M = 0 , alors, pour tout n de N, a 11 =O.
Supposons donc M > 0 .
Comme, pour tout k de N*:
la série La~ est absolument convergente.
n;;,O
En utilisant an ~ 0 , montrer qu'il existe n 1 E N tel que
11 00
la 11 1 I = M , etque l'ensemble / = {n E N; la 11 I = M} estfini .
Notons M ' = Sup lan l ; montrer M ' < M.
nEN- 1
Pour z E C, considérons la suite double (a~/)(n ,k)eNxN• .
On a: V'(n ,k) E N x N*,
l a~zkl = I~ lk IMd ~ I ~ l IMz(
1
Supposons lz l < M.
Pour tout n E N, la série L l a~ l l converge et :
k;;, 1
~ lak kl ~ 1a,, 1 ~ IM 1 k-1 = 1a"1 1 .
b ,, z "' M b z
M 1 - IMzl
1 719