-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
• Pour tout n de N, S,, est continue par morceaux sur [O; 1 [
•La suite (Sn)n eN converge simplement versf sur [O; l[
• f est continue par morceaux sur [O; 1 [
•On a :Vn E N*,Vx E [0; l[,Sn(x) :::;; f(x),etfestcontinue par morceaux, ~ 0, intégrable sur [0; 1 [.
D'après le théorème de convergence dominée (cf. 5.1.6
Th. p. 301), on a alors :
{
1
f = lim {
1
Sn ,
lo
noo lo
d'où:
If - Sn 1 =
(f - Sn)= { f - { Sn ~ o.
lo
i
fol
1
1
0
0
lo
lo
noo
On a: Vn E N* , Vz E
ea" z - 1 = ' °"' .!!....!:...._
L..,
' .
p=l
p.
Soit z E
Pour tout n E N , la série L -- est absolument conver>- 1 p!
P ~
gente et:
+oo 1(a"z)P 1 +oo la"z l''
"
' °"' __ = ' °"' _ = e la zl _ 1.
L..,
P 1
L.., 11 1
p= I
.
p = I
.
Comme la i < 1, on a la"zl -----"* 0 , donc :
1100
e
10 "zl - 1 ~ la
11 zl = lai" lzl ~ O.
1100
La série géométrique L lai" lzl converge, donc, par théorème d'équivalence pour des séries à termes dans IR+, la série
L ( e
1
" ' zl - 1) converge.
n ~O
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo +oo (an )P
+oo ( +oo
) p
f~(z) = ?;J; +, =:; ?;(a"t :!
+oo
1
= '"""'
.
zP
~ p!(l-aP)
'
et donc f a est développable en série entière en 0, de rayon infini.
+oo
1
Réponse: Vz E
Soientx E]O; +oo[, t = x - 1. On a:
Vn E N, - - - - - - -
x + n (n + 1) + t n + l
1
t
l+ - -
n + l
Supposons lt l < 1. Alors:
Vn EN,
an
an +oo
( t ) p
- - = -- L c-1)" -x + n n + l p=O
n + l
Pour tout n E N , la série L ~(-l)P(1
-)P est
p ) O n + 1
n + l
absolument convergente, car la 1 < 1, et :
+oo 1 a
11
(
t ) Pl
la i" +oo ( ltl )P
L - c- 1 Y -
=- L -
p = O n + 1
n + 1
n + 1 p = O n + 1
+oo
1 1 11
:::;; lai" L lt lP = -.
0
-
.
/7=0
1 - lt l
C
1 1 1 1
, . ,
, .
' °"' la i"
omme a < , a sene geometnque L.., - - converge.
11 ) 0 1 - lt l
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo +oo an
( 1 ) p
fa(X) = L L - (- l )P -
n=Ûp= 0 n + l
n + l
=
(-1)"
. t"
+oo (
+oo
an
)
~
?; (n + J)P+ I '
ce qui montre que fa est développable en série entière en 1, de
rayon R ~ 1.
D'autre part, pour tout x de ]O; 2[ :
1
+oo a"
fa (x) = - + L - .
X
n= I X +n
La série d'applications L (x 1-----* ~) converge normal
x+n
n )
lement, donc uniformément, sur [O; 2], puisque 1~ 1 ::::;; Ia in,
x+n
+oo an
+oo an
donc L -- ~ L . . . : . _·
n= I X+ n x-->O+ n= I n
JI en résultefa (x) ~ + oo, et nécessairement R = 1.
x --> O+
Remarquer d'abord que, puisque (an)n ) O est bornée, la série
an
e ntière ' °"' - x
11 est de rayon infini.
L.., n'
n) O .
Notons, pour n E N, fn : [O; +oo[-----"*
n!
• pour tout n de N , f,, est continue par morceaux et intégrable
sur [O; +oo[
• L f,, converge simplement sur [O; +oo[
n) O
+oo
• L fn : x 1-----* S(x)e- x est continue par morceaux sur
n=O
[O; +oo[
r +oo
• L Jo 1fn 1 converge car, pour tout n de N :
n) O O
lo
+oo
la 1 lo +oo
lf,,I = _ n
x
11 e- xdx
0
n! 0
lan l
= - , rcn + l) = lan l·
n.
0
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• Pour tout n de N, S,, est continue par morceaux sur [O; 1 [
•La suite (Sn)n eN converge simplement versf sur [O; l[
• f est continue par morceaux sur [O; 1 [
•On a :Vn E N*,Vx E [0; l[,Sn(x) :::;; f(x),etfestcontinue par morceaux, ~ 0, intégrable sur [0; 1 [.
D'après le théorème de convergence dominée (cf. 5.1.6
Th. p. 301), on a alors :
{
1
f = lim {
1
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lo
noo lo
d'où:
If - Sn 1 =
(f - Sn)= { f - { Sn ~ o.
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1
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On a: Vn E N* , Vz E
ea" z - 1 = ' °"' .!!....!:...._
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Soit z E
Pour tout n E N , la série L -- est absolument conver>- 1 p!
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gente et:
+oo 1(a"z)P 1 +oo la"z l''
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' °"' __ = ' °"' _ = e la zl _ 1.
L..,
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L.., 11 1
p= I
.
p = I
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Comme la i < 1, on a la"zl -----"* 0 , donc :
1100
e
10 "zl - 1 ~ la
11 zl = lai" lzl ~ O.
1100
La série géométrique L lai" lzl converge, donc, par théorème d'équivalence pour des séries à termes dans IR+, la série
L ( e
1
" ' zl - 1) converge.
n ~O
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo +oo (an )P
+oo ( +oo
) p
f~(z) = ?;J; +, =:; ?;(a"t :!
+oo
1
= '"""'
.
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~ p!(l-aP)
'
et donc f a est développable en série entière en 0, de rayon infini.
+oo
1
Réponse: Vz E
Soientx E]O; +oo[, t = x - 1. On a:
Vn E N, - - - - - - -
x + n (n + 1) + t n + l
1
t
l+ - -
n + l
Supposons lt l < 1. Alors:
Vn EN,
an
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( t ) p
- - = -- L c-1)" -x + n n + l p=O
n + l
Pour tout n E N , la série L ~(-l)P(1
-)P est
p ) O n + 1
n + l
absolument convergente, car la 1 < 1, et :
+oo 1 a
11
(
t ) Pl
la i" +oo ( ltl )P
L - c- 1 Y -
=- L -
p = O n + 1
n + 1
n + 1 p = O n + 1
+oo
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.
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C
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omme a < , a sene geometnque L.., - - converge.
11 ) 0 1 - lt l
On peut donc appliquer le théorème de Fubini, d'où :
+oo +oo an
( 1 ) p
fa(X) = L L - (- l )P -
n=Ûp= 0 n + l
n + l
=
(-1)"
. t"
+oo (
+oo
an
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~
?; (n + J)P+ I '
ce qui montre que fa est développable en série entière en 1, de
rayon R ~ 1.
D'autre part, pour tout x de ]O; 2[ :
1
+oo a"
fa (x) = - + L - .
X
n= I X +n
La série d'applications L (x 1-----* ~) converge normal
x+n
n )
lement, donc uniformément, sur [O; 2], puisque 1~ 1 ::::;; Ia in,
x+n
+oo an
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donc L -- ~ L . . . : . _·
n= I X+ n x-->O+ n= I n
JI en résultefa (x) ~ + oo, et nécessairement R = 1.
x --> O+
Remarquer d'abord que, puisque (an)n ) O est bornée, la série
an
e ntière ' °"' - x
11 est de rayon infini.
L.., n'
n) O .
Notons, pour n E N, fn : [O; +oo[-----"*
n!
• pour tout n de N , f,, est continue par morceaux et intégrable
sur [O; +oo[
• L f,, converge simplement sur [O; +oo[
n) O
+oo
• L fn : x 1-----* S(x)e- x est continue par morceaux sur
n=O
[O; +oo[
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• L Jo 1fn 1 converge car, pour tout n de N :
n) O O
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