-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a) Réponse : l.
b) D'après l'exercice 6.1.12 p. 366, puisque an
~,on a:
n noo n
+oo a
S (x) "' L -x
11 = - a ln (1 - x).
x---> 1- n=l n
Réponse: -a.
a) Réponse : oo.
b) D'après l'exercice 6.1.13 p. 366, puisque ~! -;;;';a,
n!
on a:
+ oo
L anxn
0
n!
n=
---- ~a .
+oo 1
x--->+oo
2 : - xn
n=O n !
Réponse: a.
Appliquer l'exercice 6.1.12 p. 366, avec an= nk,
bn = n(n - 1) ... (n - k + l ) , et
~b Il - k~ (-1 - )
L..., 11 X - X
ll=k
dxk 1 - X
k ' k
.X
"'
k!
(1 - x)k+ I x--> 1- (1- x)k+ I.
1
Appliquer l'exercice 6.1.13 p. 366,avec an= (1 + ~)n
2
n
n!
et bn = e:~~ (car an= : !exp (n2ln (1 + ~))
= :! exp ( n - ~ + o (l))) .
Vn EN*,
b
(eii) n - 1
ln= r. è .
dt
la
e
1
' -
1
l
b ei (n+ l)t
l b eÏL
=
- . - - dt -
- . - - dt.
a e
11 - 1
a e
11 - 1
D'après le lemme de Lebesgue (Analyse MPSI, 6.4.4, Exemple
2)), puisque t ~ - . -
1
- est de classe C 1 sur [a; b], on a :
e 11 - 1
l
b ei(n+ l)t
- . - - dt---+ o.
a e 11 - 1
noo
On déduit :
l
b è
l b ei ~
ln ---+ -
- .- - dt = -
dt
noo
a e l t _ 1
. . t
a 2 1 sm -
2
i l b
t
1
= -
cotan - dt- - (b-a)
2 a
2
2
. b
sm -
. 1
2
l
= 1 n - - a - -(b - a).
sin -
2
2
D'autre part :
n l b .
( 11 ikb
n
ika )
'""'
1kr
. '""' e
'""' e
ln = L...,
e dt = -t L..., -
- L..., -
.
k= 1 a
k= 1 k
k= 1 k
eina
einb
On en conclut que les séries L - et L -- sont de
n;;> l n
n;;> l n
même nature et que, si elles convergent, on a :
. b
+oo einb
+oo eina
SJO 2 i
'""' -
- '""' -
= - ln -
- -(b - a).
L n
L n
.a
2
n= I
n= I
Stn 2
e inb
b) La série L - converge pour b = n , et a pour somme :
n;;, l n
+oo einrr
+oo ( - 1 )11
" l : - = " l : - = - l n 2
n= l n
n=1 n
(cf. 6.5.3 4) Remarque p. 383).
eina
On conclut (cf. a)) que L - converge et on en déduit sa
n;;> l n
somme.
Réponse:
Va E]O; 2rr[,
+oo eina
(
a )
i
2: -
= - ln 2sin - + - (rr - a).
n= l n
2
2
Notons, pour n E N, f,, : [O; l[--+ C. Alors:
x ~a,,x
11
• pour tout n de N, f 11 est continue par morceaux et intégrable
sur [O; 1[
• L fn converge simplement sur [0; 1 [
n ;;,O
+oo
• S = L f n est continue par morceaux sur [0; 1 [
n=O
• L [ 1 J,, I converge car, pour tout n de N :
n;;.o } [O; l [
l n
l o
i
n
lan l
lf,, I =
lanlx dx = - - .
[0:1[
O
n + l
D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. 2 p. 341),
S est intégrable sur [O; 1 [, et :
Io
1
+oo 1
1
+ oo
S(x) dx = L
llnXn dx = L ..!!:!!___.
0
n=O 0
n=O n + 1
1 717
0
c
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.......
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>Q.
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a) Réponse : l.
b) D'après l'exercice 6.1.12 p. 366, puisque an
~,on a:
n noo n
+oo a
S (x) "' L -x
11 = - a ln (1 - x).
x---> 1- n=l n
Réponse: -a.
a) Réponse : oo.
b) D'après l'exercice 6.1.13 p. 366, puisque ~! -;;;';a,
n!
on a:
+ oo
L anxn
0
n!
n=
---- ~a .
+oo 1
x--->+oo
2 : - xn
n=O n !
Réponse: a.
Appliquer l'exercice 6.1.12 p. 366, avec an= nk,
bn = n(n - 1) ... (n - k + l ) , et
~b Il - k~ (-1 - )
L..., 11 X - X
ll=k
dxk 1 - X
k ' k
.X
"'
k!
(1 - x)k+ I x--> 1- (1- x)k+ I.
1
Appliquer l'exercice 6.1.13 p. 366,avec an= (1 + ~)n
2
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n!
et bn = e:~~ (car an= : !exp (n2ln (1 + ~))
= :! exp ( n - ~ + o (l))) .
Vn EN*,
b
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ln= r. è .
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1
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1
l
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l b eÏL
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- . - - dt -
- . - - dt.
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11 - 1
a e
11 - 1
D'après le lemme de Lebesgue (Analyse MPSI, 6.4.4, Exemple
2)), puisque t ~ - . -
1
- est de classe C 1 sur [a; b], on a :
e 11 - 1
l
b ei(n+ l)t
- . - - dt---+ o.
a e 11 - 1
noo
On déduit :
l
b è
l b ei ~
ln ---+ -
- .- - dt = -
dt
noo
a e l t _ 1
. . t
a 2 1 sm -
2
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1
= -
cotan - dt- - (b-a)
2 a
2
2
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. 1
2
l
= 1 n - - a - -(b - a).
sin -
2
2
D'autre part :
n l b .
( 11 ikb
n
ika )
'""'
1kr
. '""' e
'""' e
ln = L...,
e dt = -t L..., -
- L..., -
.
k= 1 a
k= 1 k
k= 1 k
eina
einb
On en conclut que les séries L - et L -- sont de
n;;> l n
n;;> l n
même nature et que, si elles convergent, on a :
. b
+oo einb
+oo eina
SJO 2 i
'""' -
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= - ln -
- -(b - a).
L n
L n
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2
n= I
n= I
Stn 2
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b) La série L - converge pour b = n , et a pour somme :
n;;, l n
+oo einrr
+oo ( - 1 )11
" l : - = " l : - = - l n 2
n= l n
n=1 n
(cf. 6.5.3 4) Remarque p. 383).
eina
On conclut (cf. a)) que L - converge et on en déduit sa
n;;> l n
somme.
Réponse:
Va E]O; 2rr[,
+oo eina
(
a )
i
2: -
= - ln 2sin - + - (rr - a).
n= l n
2
2
Notons, pour n E N, f,, : [O; l[--+ C. Alors:
x ~a,,x
11
• pour tout n de N, f 11 est continue par morceaux et intégrable
sur [O; 1[
• L fn converge simplement sur [0; 1 [
n ;;,O
+oo
• S = L f n est continue par morceaux sur [0; 1 [
n=O
• L [ 1 J,, I converge car, pour tout n de N :
n;;.o } [O; l [
l n
l o
i
n
lan l
lf,, I =
lanlx dx = - - .
[0:1[
O
n + l
D'après le théorème d'intégration sur un intervalle quelconque pour une série de fonctions (cf. 5.3.6 Th. 2 p. 341),
S est intégrable sur [O; 1 [, et :
Io
1
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+ oo
S(x) dx = L
llnXn dx = L ..!!:!!___.
0
n=O 0
n=O n + 1
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