"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
On a alors:
\ln EN*,
ce qui montre (cf. 5.3.4, Remarque p. 331) que L Ir.
1
fn (x) dx
n ) O 0
converge et que :
l o
i (lnx)k
+ oo fol
- - dx = L xn(lnxl dx.
0 1- X
n=O 0
Calculer fol xn(lnx)k dx à l'aide d'une intégration par
parties.
c) On a : V x E [O; 1 [,
en
La série entière L ln x 4 n+ 1 converge normalement
0
4n(4n + 1)
n )
sur [O; l] car, d'après la formule de Stirling ( 4.3.7 4) p. 261) :
e;n
1
4n(4n + 1) n~ 4 .ftn~ ·
Sa somme S est donc continue sur [ - l; 1] ; en particulier :
+oo
en
L
2 n
= S(l) = lim S(x).
n=O 4" (4n + 1)
x ----> ]D'autre part, S(O) = 0, et S est de classe C 1 sur) - l; l [ et :
V X E] - 1; l[,
+
00
e"
i
S'(x) = L ~x4n =
.
n=O 4 n
J1-x 4
On conclut:
fo
l
fol dx
S(l) = S(O) + S' (x)dx =
~·
0
0
1 - x4
(2n)!
Notons, pour n E N,an = - - - 2
; on a donc, pour tout x de
(2"n!)
]-1;1[:
+oo a
Arcsinx = L:--n-xln+ I et
n=O 2n + 1
+oo (-l)"a
ln(x + J 1 + x2) = L
n x2n+ 1 .
n=O 2n + 1
En utilisant la formule de Stirling, n! ~ (~)" ,J2ITT'i
noo e
(cf. 4.3.7 4) p. 261), on obtient:
l
an ~ --.
noo .jmï
Ceci montre que les séries entières ""~x
211
+
1 et
L.J
0
2n + 1
n )
L
( -1 )"a,, 2 1
•
- - -x n+ convergent normalement, donc umfor0
2n + 1
n )
mément, sur [-1; 1) et donc les sommes en sont continues
sur [- l; 1 ]. Les DSE(O) de Arcsin x et ln(x + ~) sont
donc aussi valables en remplaçant x par 1 (et par -1) :
+oo
(2n) !
.
n
L
= Arcsrn l= -
n=O (2n n !) 2 (2n + 1)
2 '
~ _(_ -_l~ )n_(2 _n_)_ ! - =ln (l + ./2.).
~ (2nnt)2(2n + 1)
Comparer avec la solution de l'exercice 6.5.18 c).
a) Appliquer la règle de d'Alembert pour les séries entières.
b)'Vx E]-1; 1[,
+oo
S(x) = Z::::c-1y+
1 ln (p + l)xP+
1
p= I
= x f:c-1y +
1
(1n p +ln (1 + .!.)) xP
p=I
p
+oo
= -xS(x) + x L(-1)"+
1 ln
n= I
c) Pour x E [O; 1], la série numérique
L (-1)"+ 1 tn ( 1 + ~) xn relève du TSCSA, donc
n) l
:::; ln (1 + - 1 -) xn+l :::; ln (1 + - 1 -) ,
n+l
n+l
ce qui montre que la série entière L ( -1)n+
1
ln ( 1 + ~) x"
n ) I
converge uniformément sur [O; 1]. Sa somme A est donc
continue en 1, d'où
d) Pour N E N* :
J 2 N + I
(
J)
2: f,; (- 1)
11 +
1 Jn l + ;;
_ ~ (2
2
• 4
2
... (2N)
2 (2N + 2))
-
ln
2
2
2
1 · 3 ... (2N + l)
- ln
- - - -----7 ln
-
(
(2N N!)2
.j2N + 2)
(fz)
-
(2N) !~2N + 1 2N + l Noo
2 .
,
1
7r
Reponse : 2: ln '2.
0
c
::J
0
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\ln EN*,
ce qui montre (cf. 5.3.4, Remarque p. 331) que L Ir.
1
fn (x) dx
n ) O 0
converge et que :
l o
i (lnx)k
+ oo fol
- - dx = L xn(lnxl dx.
0 1- X
n=O 0
Calculer fol xn(lnx)k dx à l'aide d'une intégration par
parties.
c) On a : V x E [O; 1 [,
en
La série entière L ln x 4 n+ 1 converge normalement
0
4n(4n + 1)
n )
sur [O; l] car, d'après la formule de Stirling ( 4.3.7 4) p. 261) :
e;n
1
4n(4n + 1) n~ 4 .ftn~ ·
Sa somme S est donc continue sur [ - l; 1] ; en particulier :
+oo
en
L
2 n
= S(l) = lim S(x).
n=O 4" (4n + 1)
x ----> ]D'autre part, S(O) = 0, et S est de classe C 1 sur) - l; l [ et :
V X E] - 1; l[,
+
00
e"
i
S'(x) = L ~x4n =
.
n=O 4 n
J1-x 4
On conclut:
fo
l
fol dx
S(l) = S(O) + S' (x)dx =
~·
0
0
1 - x4
(2n)!
Notons, pour n E N,an = - - - 2
; on a donc, pour tout x de
(2"n!)
]-1;1[:
+oo a
Arcsinx = L:--n-xln+ I et
n=O 2n + 1
+oo (-l)"a
ln(x + J 1 + x2) = L
n x2n+ 1 .
n=O 2n + 1
En utilisant la formule de Stirling, n! ~ (~)" ,J2ITT'i
noo e
(cf. 4.3.7 4) p. 261), on obtient:
l
an ~ --.
noo .jmï
Ceci montre que les séries entières ""~x
211
+
1 et
L.J
0
2n + 1
n )
L
( -1 )"a,, 2 1
•
- - -x n+ convergent normalement, donc umfor0
2n + 1
n )
mément, sur [-1; 1) et donc les sommes en sont continues
sur [- l; 1 ]. Les DSE(O) de Arcsin x et ln(x + ~) sont
donc aussi valables en remplaçant x par 1 (et par -1) :
+oo
(2n) !
.
n
L
= Arcsrn l= -
n=O (2n n !) 2 (2n + 1)
2 '
~ _(_ -_l~ )n_(2 _n_)_ ! - =ln (l + ./2.).
~ (2nnt)2(2n + 1)
Comparer avec la solution de l'exercice 6.5.18 c).
a) Appliquer la règle de d'Alembert pour les séries entières.
b)'Vx E]-1; 1[,
+oo
S(x) = Z::::c-1y+
1 ln (p + l)xP+
1
p= I
= x f:c-1y +
1
(1n p +ln (1 + .!.)) xP
p=I
p
+oo
= -xS(x) + x L(-1)"+
1 ln
n= I
c) Pour x E [O; 1], la série numérique
L (-1)"+ 1 tn ( 1 + ~) xn relève du TSCSA, donc
n) l
:::; ln (1 + - 1 -) xn+l :::; ln (1 + - 1 -) ,
n+l
n+l
ce qui montre que la série entière L ( -1)n+
1
ln ( 1 + ~) x"
n ) I
converge uniformément sur [O; 1]. Sa somme A est donc
continue en 1, d'où
d) Pour N E N* :
J 2 N + I
(
J)
2: f,; (- 1)
11 +
1 Jn l + ;;
_ ~ (2
2
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2
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2 (2N + 2))
-
ln
2
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1 · 3 ... (2N + l)
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Reponse : 2: ln '2.