-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
+oo n
+oo
8
+oo · 8
'""' z
'""' cos n n . '""' sm n n
L.., - = L.., - - p + 1 L.., - - p .
n= l n
n= l
n
n= l n
Réponse :
1
-~In ((! - 2pcos (: ~::~e)
cose)
+ i Arc tan
.
+ Arc tan - .s i e # 0
si ne
sine
-ln (1 - p )
si e =O.
D'après l 'exercice 6.5.8 d) p. 711 (ou 6.5.7 s) p. 7 10) :
\;/ 8 E JR, \;/ X EJ - 1; 1 (,
sin 8
+oo
-----~
2 = L sin (n + 1)8 x " .
l - 2xcos 8 + X
n=O
Po ur x EJ - l; l [ fixé, la sé rie d'applications continues
L (8 t---+ sin (n + 1)8 sin k8 x " ) converge normalement,
n;;,O
donc uniformément, sur [O; TC J ; d'où :
où,
h(x) =Ion ( Ï : sin (n + 1)8sin k8x" )de
0
n=O
+oo
= L l n ,kX
11
,
n=O
l n ,k = Ion sin (n + 1)8 sin k 8 d8
= ~ Ion ( cos(n + 1 - k)(} - cos(n + 1 + k)f}) d8
si k =I= n + 1
si k = n + 1
Pour lx l > 1, remarquer h(x ) = x
1
2 h (~) .
[ n k-1
si lx l < 1
- x
Réponse : fk (X) =
2
TC -k - l
si lx l > 1
- X
2
Pour x EJ - 1; 1[ fi xé, la sé ri e d 'appli cati o ns cont inue s
(
(- l)n + l
)
L t t---+ n x "sin
2
"2 t converge normalement,
n;;, l
TC
donc uniformém ent, sur [O; 2
J, d'où :
1
Î ln ( l +xsin
2 t)
l Î(+"" (-1 )
11
)
- - - - - d t =
L -- sin
211 t x
11 +
1 d t
sin 2 r
0
11
= 0 n + 1
+oo ( -!)" (1Î
)
= I: -s in
211 tdt x
11 +
1
•
11=0 n + 1 o
L'intégr a le de Wa llis Io~ sin 2 " t dt e st connue (cf. Analyse
MPSI, 6.4.4, Exemple 1) ) :
Io
~ . 2n
(2n) ! TC
sm t dt = - ---.
0
(2nn!)2 2
O n déduit : \;/ x EJ - l ; 1(,
Io
~ ln ( l +xsin 2 t )
TC + Loo (- l.)"(2n)! n+ l
--~-- dt= -
X
,
o
sin2t
2
(n + 1)(2" n !)2
n=O
et on reconnaît le DSE(O) de .Jf+x - 1.
Méthode: développer la fo nction (sous intégrale) en une série
de fonctions, puis justifier la permutation de f et L (cf. 5.3.4
p. 334).
a) La série d'application L l n, où lo : JO; lJ ---+ lR e t
n;;, 1
xi---+ ln x
ln : [O; lJ ---+ lR
{
x " ln x
XI---+
n!
0
(n ~ 1) converge normalement,
si x # O
si x = O
donc uniformément, sur [O; lJ , puisque:
'
lf,,(x ) I = (- x ln x ) -
n !
{
- x
0
lnx
et que x t---+
si X EJÜ; lJ
si X = Ü
est bornée sur [O; l J.
On a donc:
Io
1
ex ln x dx =lai ( Ï : ln(x )) dx
0
0
n=O
+oo { !
= L Je l,,(x )dx .
n=O O
Calculer Io
1
x" ln x dx à l'aide d'une intégration par parties.
(1 )
k
+oo
n x
L n k
b) Ona : VxE JO; l[, - - =
x (ln x).
1- x
n=O
Considérons donc la série d'applications L ln où
n;;,1
ln ; [0; lJ ---+ lR
, et lo: JO; lJ ---+ lR .
{
x " (ln x)k
X I---+
si x#O
xi---+ (ln x)k
0
si x=O
Il est c lair que L ln converge sim plement sur JO; lJ et:
n;;, 1
Vx EJO; l[, V n E N*,
+oo
k xn+I
x(ln x)k n
R,,(x) = ' ""' l p(x ) = (ln x) - - = x .
L..,
1 -x
1 - x
p=n+ I
x (ln x)k
L'application x t---+
est prolongeable par continuité en
1 - x
0 et 1, donc est bornée sur JO; 1 [ ; il existe Mk E lR+ tel que :
\;/X EJÜ; 1(,
1 715
0
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L.., - = L.., - - p + 1 L.., - - p .
n= l n
n= l
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n= l n
Réponse :
1
-~In ((! - 2pcos (: ~::~e)
cose)
+ i Arc tan
.
+ Arc tan - .s i e # 0
si ne
sine
-ln (1 - p )
si e =O.
D'après l 'exercice 6.5.8 d) p. 711 (ou 6.5.7 s) p. 7 10) :
\;/ 8 E JR, \;/ X EJ - 1; 1 (,
sin 8
+oo
-----~
2 = L sin (n + 1)8 x " .
l - 2xcos 8 + X
n=O
Po ur x EJ - l; l [ fixé, la sé rie d'applications continues
L (8 t---+ sin (n + 1)8 sin k8 x " ) converge normalement,
n;;,O
donc uniformément, sur [O; TC J ; d'où :
où,
h(x) =Ion ( Ï : sin (n + 1)8sin k8x" )de
0
n=O
+oo
= L l n ,kX
11
,
n=O
l n ,k = Ion sin (n + 1)8 sin k 8 d8
= ~ Ion ( cos(n + 1 - k)(} - cos(n + 1 + k)f}) d8
si k =I= n + 1
si k = n + 1
Pour lx l > 1, remarquer h(x ) = x
1
2 h (~) .
[ n k-1
si lx l < 1
- x
Réponse : fk (X) =
2
TC -k - l
si lx l > 1
- X
2
Pour x EJ - 1; 1[ fi xé, la sé ri e d 'appli cati o ns cont inue s
(
(- l)n + l
)
L t t---+ n x "sin
2
"2 t converge normalement,
n;;, l
TC
donc uniformém ent, sur [O; 2
J, d'où :
1
Î ln ( l +xsin
2 t)
l Î(+"" (-1 )
11
)
- - - - - d t =
L -- sin
211 t x
11 +
1 d t
sin 2 r
0
11
= 0 n + 1
+oo ( -!)" (1Î
)
= I: -s in
211 tdt x
11 +
1
•
11=0 n + 1 o
L'intégr a le de Wa llis Io~ sin 2 " t dt e st connue (cf. Analyse
MPSI, 6.4.4, Exemple 1) ) :
Io
~ . 2n
(2n) ! TC
sm t dt = - ---.
0
(2nn!)2 2
O n déduit : \;/ x EJ - l ; 1(,
Io
~ ln ( l +xsin 2 t )
TC + Loo (- l.)"(2n)! n+ l
--~-- dt= -
X
,
o
sin2t
2
(n + 1)(2" n !)2
n=O
et on reconnaît le DSE(O) de .Jf+x - 1.
Méthode: développer la fo nction (sous intégrale) en une série
de fonctions, puis justifier la permutation de f et L (cf. 5.3.4
p. 334).
a) La série d'application L l n, où lo : JO; lJ ---+ lR e t
n;;, 1
xi---+ ln x
ln : [O; lJ ---+ lR
{
x " ln x
XI---+
n!
0
(n ~ 1) converge normalement,
si x # O
si x = O
donc uniformément, sur [O; lJ , puisque:
'
lf,,(x ) I = (- x ln x ) -
n !
{
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0
lnx
et que x t---+
si X EJÜ; lJ
si X = Ü
est bornée sur [O; l J.
On a donc:
Io
1
ex ln x dx =lai ( Ï : ln(x )) dx
0
0
n=O
+oo { !
= L Je l,,(x )dx .
n=O O
Calculer Io
1
x" ln x dx à l'aide d'une intégration par parties.
(1 )
k
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n x
L n k
b) Ona : VxE JO; l[, - - =
x (ln x).
1- x
n=O
Considérons donc la série d'applications L ln où
n;;,1
ln ; [0; lJ ---+ lR
, et lo: JO; lJ ---+ lR .
{
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X I---+
si x#O
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0
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Il est c lair que L ln converge sim plement sur JO; lJ et:
n;;, 1
Vx EJO; l[, V n E N*,
+oo
k xn+I
x(ln x)k n
R,,(x) = ' ""' l p(x ) = (ln x) - - = x .
L..,
1 -x
1 - x
p=n+ I
x (ln x)k
L'application x t---+
est prolongeable par continuité en
1 - x
0 et 1, donc est bornée sur JO; 1 [ ; il existe Mk E lR+ tel que :
\;/X EJÜ; 1(,
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