"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
+oo
k) Réponse :f(x) = L anxn,
n=l
où ~. ~ { ~
1
~:;-l)P
2p + 1
si n = 2p
si n = 2p + l
; R = 1.
l) L'application! est définie sur[- 1; 1], dérivable sur] - 1; 1 [
et après calculs :
'V x E] - l ; l[-(0}, f'(x) =
2
~ ( 1 - (1 - x 2 )-!).
Réponse:
~ 1 · 3 · ... · (2n - 1) 1 2
f (x) = ln 2 - L..,
- x n ; R = 1.
m) Linéariser :
Réponse:
n=l 2·4· ... ·(2n) 4n
1
sin 3 x = -(3 sin x sin 3x).
4
f(
x) - ~ (32n+I - 3)(-l)n- I x2n+1. R =OO.
- ~
4((2n + l ) !)
'
n) Pour x E IR*,
3 sin x - sin 3x
f(x) =
4x3
1 ( +oo (-l)"x2n+ I +oo (-l)"(3x)2n+ I)
= 4x 3
3
L (2n+ l)! - L (2n+ l)!
n=O
n=O
+oo 3 32n+ I
= L - (- l)nx2n -2 _
n= I 4(2n + l )!
Le résultat obtenu est aussi valable pour x = 0.
Réponse:
+oo
3 32n+3
f(x) = ~ (-1)"+ 1
-
x2n. R = OO.
~
4((2n + 3)!)
'
o) Comme pour n).
Réponse:
f(
x) - ~ 2(-1)" (22n+2 - 1) x2n. R =OO.
- L..,
(2n +4)!
'
n=O
p ) f est dérivable sur IR - (4) et : J' (x) =
2
2
; d'où,
1 + (~)
pour x E] - oo; 4[ :
X
f(x) = f(O) - Arctan 2
.
Réponse:
1 +oo
(-l)n + I
f(x) =-Arctan - + ~
x 2 n+l. R = 2.
·
2 ~22n+ l(2n +l )
'
q) f est dérivable sur IR - {- 1} et, après calcul s:
J ' (x) =
sin2a
l + 2x cos 2a + x2 ·
On peut utiliser l'exercice 6.5.7 s) p. 392.
+oo (-1)"
Réponse : f(x) =a+ l : : - - sin2na x " R = 1 si
n=l
n
a i= 0, R = oo si a = 0.
r) Montrer que!' satisfait l'équation différentielle
(1 - x 2 )y' - xy - 2 = 0 sur] - l ; l[.
Réponse:
+oo
c2n ')2
~
n.
2n+2
f(x)=~(2n+l)!(n+l)x
; R = l.
s) Montrer que f satisfait l'équation différentielle
(l-x 2 )y" -xy'-a 2 y = 0 sur] - 1; l[.
OO
Réponse: f (x) = L anx" où, pour tout p de N :
n=O
p- l
1
a2p = -
1
- TI (4k 2 + a 2 ) si p ;:;:, 1, et ao = e 0 ~
(Zp) ! k= O
p- l
a2p+ I = - aao TI (c2k + 1) 2 + a 2 )
(2p + l ) ! k=Ü
t) En notant f(x) = exchach (xsha),
R = l.
g(x ) = exchash(x sh a), u = f + g , v = f - g, on a:
'V X E IR,
+oo (xea)n
u(x) = ex(ch a+sha) = exe" = 2::--, -,
0
n.
n=
et de mê me pour v(x).
Réponse
~chna
f (x) = L.., - -xn ,
n=O n!
~ shna
g(x) = L.., - 1 - x";
0
n.
n =
R =OO.
u) f est dérivable sur IR et f' (x) = sin (x 2 ).
,
+oo
(-l)n x4n +3
Reponse : f(x) = ~
·
R = oo.
~ (2n + 1)!(4n + 3) '
e
1
-
l
fox e
1
- 1
v)• - - ~ 1, donc l'intégrale
- - dt existe pour
t
t-->0
0
t
tout x de IR .
• f est dérivable sur IR et : 'V x E IR* ,
ex - 1
+oo
x"
f' (x) = - x- =?; (n + l )!'
développement valable aussi pour x = 0.
+oo xn
Réponse: f(x) = ~ --; R = oo.
Ln· n!
n= I
w) f est dérivable sur IR* et :
ch 2x
chx
+oo 2 2 n - 1
\lx E IR*, f ' (x) = 2 - - - - = l : : - - -·x2n-I ,
2x
x
n= I (2n)!
développement valable aussi en O.
0
c
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.......
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>0..
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+oo
k) Réponse :f(x) = L anxn,
n=l
où ~. ~ { ~
1
~:;-l)P
2p + 1
si n = 2p
si n = 2p + l
; R = 1.
l) L'application! est définie sur[- 1; 1], dérivable sur] - 1; 1 [
et après calculs :
'V x E] - l ; l[-(0}, f'(x) =
2
~ ( 1 - (1 - x 2 )-!).
Réponse:
~ 1 · 3 · ... · (2n - 1) 1 2
f (x) = ln 2 - L..,
- x n ; R = 1.
m) Linéariser :
Réponse:
n=l 2·4· ... ·(2n) 4n
1
sin 3 x = -(3 sin x sin 3x).
4
f(
x) - ~ (32n+I - 3)(-l)n- I x2n+1. R =OO.
- ~
4((2n + l ) !)
'
n) Pour x E IR*,
3 sin x - sin 3x
f(x) =
4x3
1 ( +oo (-l)"x2n+ I +oo (-l)"(3x)2n+ I)
= 4x 3
3
L (2n+ l)! - L (2n+ l)!
n=O
n=O
+oo 3 32n+ I
= L - (- l)nx2n -2 _
n= I 4(2n + l )!
Le résultat obtenu est aussi valable pour x = 0.
Réponse:
+oo
3 32n+3
f(x) = ~ (-1)"+ 1
-
x2n. R = OO.
~
4((2n + 3)!)
'
o) Comme pour n).
Réponse:
f(
x) - ~ 2(-1)" (22n+2 - 1) x2n. R =OO.
- L..,
(2n +4)!
'
n=O
p ) f est dérivable sur IR - (4) et : J' (x) =
2
2
; d'où,
1 + (~)
pour x E] - oo; 4[ :
X
f(x) = f(O) - Arctan 2
.
Réponse:
1 +oo
(-l)n + I
f(x) =-Arctan - + ~
x 2 n+l. R = 2.
·
2 ~22n+ l(2n +l )
'
q) f est dérivable sur IR - {- 1} et, après calcul s:
J ' (x) =
sin2a
l + 2x cos 2a + x2 ·
On peut utiliser l'exercice 6.5.7 s) p. 392.
+oo (-1)"
Réponse : f(x) =a+ l : : - - sin2na x " R = 1 si
n=l
n
a i= 0, R = oo si a = 0.
r) Montrer que!' satisfait l'équation différentielle
(1 - x 2 )y' - xy - 2 = 0 sur] - l ; l[.
Réponse:
+oo
c2n ')2
~
n.
2n+2
f(x)=~(2n+l)!(n+l)x
; R = l.
s) Montrer que f satisfait l'équation différentielle
(l-x 2 )y" -xy'-a 2 y = 0 sur] - 1; l[.
OO
Réponse: f (x) = L anx" où, pour tout p de N :
n=O
p- l
1
a2p = -
1
- TI (4k 2 + a 2 ) si p ;:;:, 1, et ao = e 0 ~
(Zp) ! k= O
p- l
a2p+ I = - aao TI (c2k + 1) 2 + a 2 )
(2p + l ) ! k=Ü
t) En notant f(x) = exchach (xsha),
R = l.
g(x ) = exchash(x sh a), u = f + g , v = f - g, on a:
'V X E IR,
+oo (xea)n
u(x) = ex(ch a+sha) = exe" = 2::--, -,
0
n.
n=
et de mê me pour v(x).
Réponse
~chna
f (x) = L.., - -xn ,
n=O n!
~ shna
g(x) = L.., - 1 - x";
0
n.
n =
R =OO.
u) f est dérivable sur IR et f' (x) = sin (x 2 ).
,
+oo
(-l)n x4n +3
Reponse : f(x) = ~
·
R = oo.
~ (2n + 1)!(4n + 3) '
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l
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v)• - - ~ 1, donc l'intégrale
- - dt existe pour
t
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t
tout x de IR .
• f est dérivable sur IR et : 'V x E IR* ,
ex - 1
+oo
x"
f' (x) = - x- =?; (n + l )!'
développement valable aussi pour x = 0.
+oo xn
Réponse: f(x) = ~ --; R = oo.
Ln· n!
n= I
w) f est dérivable sur IR* et :
ch 2x
chx
+oo 2 2 n - 1
\lx E IR*, f ' (x) = 2 - - - - = l : : - - -·x2n-I ,
2x
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n= I (2n)!
développement valable aussi en O.