"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
D'autre part :
1
2 x dt
1 2 x ch t - 1
\;/ x E IR*, f (x) =
- +
dt ,
X
t
X
f
1
2 x ch t - 1
ch t - 1
et
dt ~ 0 puisque t t------7 - - - est bornée
x
t
x--> O
au voisinage de 0, d'où f(O) =ln 2.
Réponse :
+oo 2 2n _ l
ln 2 + ' "°'
x
2 n·
L (2n) · (2n)!
'
n= l
R = OO .
x) Montrer que f vérifie l'équation différentielle y' + xy = 1
sur IR .
Réponse :
f( )
~
(- l )n
2n + l
R =OO.
· x = L 1 · 3 ·
· (2n + 1) x
;
n=O
y) Pour x E] - 1; 1 [ fixé, la série d'applications continues
L (t t------7 ( - l~n-l (x sin 2 t)
11 )
converge normalement,
11;?3 1
n:
donc uniforméme nt, sur [0; 2 ].
D'après 5.3.4 Th. p. 362, en déduit:
{ ~ ( +oo (-l)n- 1
)
f(x) = Jo ?; n x
11 sin
211 t dt
+oo ( -l )n- l(f ~
)
= L n Jo sin2ntdt xn .
n= l
0
On sait (intégrale de Wallis, Analyse MPSI, 6.4.4, Exemple 1 )) :
Io
~ . 2n
(2n) ! n:
\:ln E N,
sm tdt = - - -
2
-.
O
(2
11 n!) 2
+oo (-l)n - I (2n - 1)1
Réponse : f (x) = L n:
2
· x
11
; R = 1 .
n= I
(21ln!)
z) Même méthode qu 'en y ).
n: +oo n: ( (2n 1))2
Réponse: f(x) = - + ' "°' - · x 2 " ; R = 1.
2
L 2 (2 11 n !)4
n=l
a') Même méthode qu 'en y).
X
-~ ~ (- 1)"·(2n)! x2n+l.
Réponse: f( ) - ~ 2 ( 211 n!) 2 ( 2 n + l )
, R = 1 .
Faire intervenir une série entière, puis prendre la valeur de la
somme en un point particulier.
1
a) Remplacer z par 2
dans le résultat de l'exercice 6.5.7 a)
p. 708.
Réponse: 26.
x2n
h) La série entière ~ (n + l )( 2
n + l) est de rayon l , et sa
somme, notée S, vérifie:
\:lx E) - 1; l[- {0},
S(x) = ~ (--1 - + _ 2 _ )x2n
n=O
n + 1 2n + 1
+oo x2n
+oo x2n
- - L n + l +
2
L 2n + l
n=O
n=O
1
2
1 l +x
= -ln (l-x )+- ln - -
x2
X
l - X
- ( 1
1)
(1 -x)ln (l -x)
- 2
+ - ln (1 + x) +
2
.
X
X
X
Comme la série d'applications L ( x t------7 x
2
"
)
n;;,O
(n + l)(2n + 1)
converge normalement, donc uniformément, sur [ - 1 ; 1 ] , sa
somme est continue en l , d'où :
+oo
1
L
= lim S(x) = 2ln 2.
n=O (n + 1)(2n + 1)
x--> 1Réponse : 2 ln 2.
c) D'après la solution de l'exercice 6.5.7 k) p. 709, on a :
\;/X E) - l ; l [,
+oo (-l)n
L
xn = (1 +x) ln (l +x)-x.
n= 2 n(n - 1)
C
l
, . d'
1· .
L (
(-l)n
n)
omme a sen e app icat10ns
x t------7
x
2
n(n - l)
n ;?3
converge normalement, donc uniformément, sur [ -1; 1], on
déduit :
+oo (- l)n
(
)
L
= lim
(1 +x)ln (l +x)-x .
n= 2
n(n -1 )
x __.1 -
Réponse : 2 1 n 2 - l .
d) Remplacer x par - 1 dans le résultat de l'exercice 6.5.7 q)
p. 710.
,
2
Reponse: - .
e
e) D'après l'exercice 6.5.7 f) p. 709: \:/ x E] - l; l[,
+oo x3n+l
l
l
S(x) = L: -- = -- ln(l - x) + - ln (l +x +x
2 )
n=O 3n + l
3
6
v'3
2x + l n:v'3
+ - Arctan - - - - - .
3
v'3
18
x3n+l
Pour x E [ - 1; 0], la série numérique L -- relève du
0
3n+ 1
""'
TSCSA, d'où :
VnEN,
- - ~ - - ~ --.
1
+oo x3k+ l 1 1 x3n+4 I
1
kf 1 3k + 1 3n + 4 3n + 4
Ceci mo ntre que la sene d 'application s continues
' "°' ( x t------7 x
3
"+
1
) converge unifo rméme nt sur [ - 1; 0) , et
L 0
3n + 1
""' +oo (-1)3n + l
donc L
lim S(x).
n=O 3n + l
x-->- 1+
1 713
0
c
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\;/ x E IR*, f (x) =
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X
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X
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2 x ch t - 1
ch t - 1
et
dt ~ 0 puisque t t------7 - - - est bornée
x
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x--> O
au voisinage de 0, d'où f(O) =ln 2.
Réponse :
+oo 2 2n _ l
ln 2 + ' "°'
x
2 n·
L (2n) · (2n)!
'
n= l
R = OO .
x) Montrer que f vérifie l'équation différentielle y' + xy = 1
sur IR .
Réponse :
f( )
~
(- l )n
2n + l
R =OO.
· x = L 1 · 3 ·
· (2n + 1) x
;
n=O
y) Pour x E] - 1; 1 [ fixé, la série d'applications continues
L (t t------7 ( - l~n-l (x sin 2 t)
11 )
converge normalement,
11;?3 1
n:
donc uniforméme nt, sur [0; 2 ].
D'après 5.3.4 Th. p. 362, en déduit:
{ ~ ( +oo (-l)n- 1
)
f(x) = Jo ?; n x
11 sin
211 t dt
+oo ( -l )n- l(f ~
)
= L n Jo sin2ntdt xn .
n= l
0
On sait (intégrale de Wallis, Analyse MPSI, 6.4.4, Exemple 1 )) :
Io
~ . 2n
(2n) ! n:
\:ln E N,
sm tdt = - - -
2
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O
(2
11 n!) 2
+oo (-l)n - I (2n - 1)1
Réponse : f (x) = L n:
2
· x
11
; R = 1 .
n= I
(21ln!)
z) Même méthode qu 'en y ).
n: +oo n: ( (2n 1))2
Réponse: f(x) = - + ' "°' - · x 2 " ; R = 1.
2
L 2 (2 11 n !)4
n=l
a') Même méthode qu 'en y).
X
-~ ~ (- 1)"·(2n)! x2n+l.
Réponse: f( ) - ~ 2 ( 211 n!) 2 ( 2 n + l )
, R = 1 .
Faire intervenir une série entière, puis prendre la valeur de la
somme en un point particulier.
1
a) Remplacer z par 2
dans le résultat de l'exercice 6.5.7 a)
p. 708.
Réponse: 26.
x2n
h) La série entière ~ (n + l )( 2
n + l) est de rayon l , et sa
somme, notée S, vérifie:
\:lx E) - 1; l[- {0},
S(x) = ~ (--1 - + _ 2 _ )x2n
n=O
n + 1 2n + 1
+oo x2n
+oo x2n
- - L n + l +
2
L 2n + l
n=O
n=O
1
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= -ln (l-x )+- ln - -
x2
X
l - X
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1)
(1 -x)ln (l -x)
- 2
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.
X
X
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Comme la série d'applications L ( x t------7 x
2
"
)
n;;,O
(n + l)(2n + 1)
converge normalement, donc uniformément, sur [ - 1 ; 1 ] , sa
somme est continue en l , d'où :
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L
= lim S(x) = 2ln 2.
n=O (n + 1)(2n + 1)
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c) D'après la solution de l'exercice 6.5.7 k) p. 709, on a :
\;/X E) - l ; l [,
+oo (-l)n
L
xn = (1 +x) ln (l +x)-x.
n= 2 n(n - 1)
C
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L (
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n)
omme a sen e app icat10ns
x t------7
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déduit :
+oo (- l)n
(
)
L
= lim
(1 +x)ln (l +x)-x .
n= 2
n(n -1 )
x __.1 -
Réponse : 2 1 n 2 - l .
d) Remplacer x par - 1 dans le résultat de l'exercice 6.5.7 q)
p. 710.
,
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Reponse: - .
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e) D'après l'exercice 6.5.7 f) p. 709: \:/ x E] - l; l[,
+oo x3n+l
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S(x) = L: -- = -- ln(l - x) + - ln (l +x +x
2 )
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+ - Arctan - - - - - .
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18
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Pour x E [ - 1; 0], la série numérique L -- relève du
0
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