"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
a) Décomposer en éléments simples de ~ (X) :
x 2 - x +2
x4 -5X 2 +4
1 1
2 1
1 1
2 1
= - - - - + - - - + - - - - - - - .
3X-l
3X+l
3X- 2
3X+2
Réponse:
f(x) = "°"' - + - (-1)" - - · - - - - - x"
+oo ( 1
2
1 1
1 ( 1 ) " )
L
3
3
6 2 11
3
2
'
n=O
R = 1.
h) Les pôles de f sont les racines 41, m cs de 1 autres que 1, d'où
R = 1. Remarquer: \lx E] - 1; l[,
(l - x) 3
1
+oo
f(x) =
4 3
= -(1 - x) 3 L (n + 2)(n + l)x 4 ".
(1 - X )
2
n= Ü
+oo
Réponse: f (x) = L anx" , où :
n=O
1
2(p + 2)(p + 1)
si n = 4p
3
- 2(p + 2)(p + 1) si n = 4p + 1
an=
3
2(p + 2)(p + 1)
si n = 4p +2
1
-2(p + 2)(p + 1) sin = 4p + 3
c) Le cas 8 = 0 étant d'étude immédiate, on peut supposer
() =/= 0. Les pôles de la fraction rationnelle sont e
8 et e8 , d'où
R = e-1 8 1 et:
1 ( e8
e- 8 )
f(x) = - - - -
2 x - e 8
x - e- 8
1
1
1
1
= - 21 - xe- 8 + 2-l---x-e~ 8 ·
Réponse:
+oo
• Si () =/= 0:
f(x) = L shn() x", R = e-181 _
n=O
• si 8=0, f=O .
Comparer avec l'exercice 6.5.7 s) p. 392.
d) Supposons 8 ef. rr: Z ; alors R = 1 et:
1
1
f~)=
=
.
.
x 2 - 2x cos(}+ 1
(x - e
1
8 )(x - e1
8)
= 2i s
1
in () (x ~ei8 - x -~-i8 )
1
(
. +oo
.
. +oo
. )
= - .-. - - e- •8 L(xe- •8)11 + e•8 L (xe'8)n
21 sm (}
n=O
n=O
1
+oo
= - .- . - L 2isin (n + 1)8 x".
21 Stn (} n= Ü
Réponse:
~sin (n + 1)()
• Si 8 ef. rr: Z : f (x) = L
.
x
11
,
n=O
sm8
R = 1.
+oo
• Si 8 E 2rr: Z, f(x) = L(n + l )x
11
,
R = 1.
n=O
+oo
•Si() Err+ 2rr: Z, f(x) = L(-l)"(n + l)x" , R = 1.
n=O
Comparer avec l'exercice 6.5.7 t) p. 392.
e) Remarquer: f (x) = (1 + x)(l - x 2 )- !.
,
~
Il
'
(2p)!
Reponse: f(x) = L a 11 x , ou xan =
2
n=O
(2P p!)
sin= 2p
et si n = 2p + 1 ; R = 1.
+oo (-1)"
f) Réponse: /(x) = x + L
x"; R = 1.
n=
2
(n - l)n
g) Réponse:
f(x) = ~(-l) 11 H 11 +1x 11 (où Hn = t ~); R = 1.
n=O
k= l
h) Re marquer (pour des x à préciser) :
ln (1 + x + x 2 ) = ln (1 - x 3 ) - ln (1 - x) .
+oo
Réponse: f(x) = L anx" ,
n=I
"· ~ L~~
si n~O
où
si n=O
n
i) Réponse:
•Si q :::;; 0, f n'est pas dSE(O).
• Si q > 0, f est dSE(O)
[3]
R = 1.
[3]
+oo x-n + x-n
et f (x) = ln q - L
1
2 x" où x1 ,x2 sont les zéros
n = I
n
(réels) de X 2 + pX + q; R = Min(lx 1 l, lx21).
j) Remarquer (pour des x à préciser) :
f (x) =ln (1 - x 3 ) - ln (1 - x) - ln (1 + x2).
+oo
Réponse: f(x) = L a 11 x
11 où:
a,,=
n = l
- 1 +(- l)P
3p
6p + 1
1+2(-l) P+ I
6p +2
2
- - -
6p+ 3
1+2(-l)P
6p+4
6p +5
si n = 6p
si n = 6p + 1
si n = 6p +2
si n = 6p + 3
si n = 6p +4
si n = 6p +5
R = l.
0
c
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0
(V)
..--t
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N
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.......
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a) Décomposer en éléments simples de ~ (X) :
x 2 - x +2
x4 -5X 2 +4
1 1
2 1
1 1
2 1
= - - - - + - - - + - - - - - - - .
3X-l
3X+l
3X- 2
3X+2
Réponse:
f(x) = "°"' - + - (-1)" - - · - - - - - x"
+oo ( 1
2
1 1
1 ( 1 ) " )
L
3
3
6 2 11
3
2
'
n=O
R = 1.
h) Les pôles de f sont les racines 41, m cs de 1 autres que 1, d'où
R = 1. Remarquer: \lx E] - 1; l[,
(l - x) 3
1
+oo
f(x) =
4 3
= -(1 - x) 3 L (n + 2)(n + l)x 4 ".
(1 - X )
2
n= Ü
+oo
Réponse: f (x) = L anx" , où :
n=O
1
2(p + 2)(p + 1)
si n = 4p
3
- 2(p + 2)(p + 1) si n = 4p + 1
an=
3
2(p + 2)(p + 1)
si n = 4p +2
1
-2(p + 2)(p + 1) sin = 4p + 3
c) Le cas 8 = 0 étant d'étude immédiate, on peut supposer
() =/= 0. Les pôles de la fraction rationnelle sont e
8 et e8 , d'où
R = e-1 8 1 et:
1 ( e8
e- 8 )
f(x) = - - - -
2 x - e 8
x - e- 8
1
1
1
1
= - 21 - xe- 8 + 2-l---x-e~ 8 ·
Réponse:
+oo
• Si () =/= 0:
f(x) = L shn() x", R = e-181 _
n=O
• si 8=0, f=O .
Comparer avec l'exercice 6.5.7 s) p. 392.
d) Supposons 8 ef. rr: Z ; alors R = 1 et:
1
1
f~)=
=
.
.
x 2 - 2x cos(}+ 1
(x - e
1
8 )(x - e1
8)
= 2i s
1
in () (x ~ei8 - x -~-i8 )
1
(
. +oo
.
. +oo
. )
= - .-. - - e- •8 L(xe- •8)11 + e•8 L (xe'8)n
21 sm (}
n=O
n=O
1
+oo
= - .- . - L 2isin (n + 1)8 x".
21 Stn (} n= Ü
Réponse:
~sin (n + 1)()
• Si 8 ef. rr: Z : f (x) = L
.
x
11
,
n=O
sm8
R = 1.
+oo
• Si 8 E 2rr: Z, f(x) = L(n + l )x
11
,
R = 1.
n=O
+oo
•Si() Err+ 2rr: Z, f(x) = L(-l)"(n + l)x" , R = 1.
n=O
Comparer avec l'exercice 6.5.7 t) p. 392.
e) Remarquer: f (x) = (1 + x)(l - x 2 )- !.
,
~
Il
'
(2p)!
Reponse: f(x) = L a 11 x , ou xan =
2
n=O
(2P p!)
sin= 2p
et si n = 2p + 1 ; R = 1.
+oo (-1)"
f) Réponse: /(x) = x + L
x"; R = 1.
n=
2
(n - l)n
g) Réponse:
f(x) = ~(-l) 11 H 11 +1x 11 (où Hn = t ~); R = 1.
n=O
k= l
h) Re marquer (pour des x à préciser) :
ln (1 + x + x 2 ) = ln (1 - x 3 ) - ln (1 - x) .
+oo
Réponse: f(x) = L anx" ,
n=I
"· ~ L~~
si n~O
où
si n=O
n
i) Réponse:
•Si q :::;; 0, f n'est pas dSE(O).
• Si q > 0, f est dSE(O)
[3]
R = 1.
[3]
+oo x-n + x-n
et f (x) = ln q - L
1
2 x" où x1 ,x2 sont les zéros
n = I
n
(réels) de X 2 + pX + q; R = Min(lx 1 l, lx21).
j) Remarquer (pour des x à préciser) :
f (x) =ln (1 - x 3 ) - ln (1 - x) - ln (1 + x2).
+oo
Réponse: f(x) = L a 11 x
11 où:
a,,=
n = l
- 1 +(- l)P
3p
6p + 1
1+2(-l) P+ I
6p +2
2
- - -
6p+ 3
1+2(-l)P
6p+4
6p +5
si n = 6p
si n = 6p + 1
si n = 6p +2
si n = 6p + 3
si n = 6p +4
si n = 6p +5
R = l.