"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
p) Réponse:
R = 1,
1
1 +x
2
S(x) = - ln - - - ln (1 - x ).
4
1 -x
q) D'abord : R = oo.
Décomposer n 3 + l sur l ,n,n(n - l),n(n - l )(n - 2) :
n 3 + l = n(n - l )(n - 2) + 3n(n - 1) + n + 1, d'où:
+oo
xn
+oo
x"
S(x) = L (n - 3)! + 3 L (n - 2)!
n=3
n=2
+oo
xn
+oo xn
+"L
+"Ln=l (n - l )! n=Ü n!
= x 3 ex + 3x 2 ex + xex +ex .
Réponse: R = oo, S(x) = (x 3 + 3x 2 + x + l )ex.
Remarque : on peut ainsi calculer, de manière générale,
+oo P(n)
L - -xn, pour tout P de IR[X] (et même P de C[X], cf.
n=O n!
6.6.1 p. 395).
r) D'abord : R = oo.
• Six ~ 0, on note t = Jx, d'où :
+oo t2n
S(x) = 2: -- = cht = ch ,,/X.
n=O (2n)!
•Si x :::;; 0, on note t = Fx, d'où :
+oo (- l)n t2n
S(x) = L
=cos t = cos.J=X.
n=O (2n) !
Réponse: R = oo, S(x) = { ch Jx
cosFx
s) Pour lx 1 < 1, les séries convergent et :
+oo
+oo
L:cosne X
11 +i L: sinne X
11
n=O
n=O
si X ~ 0
si x :::;; O.
+oo
+oo
/1
= L èB xn = L ( ei8 x )
n=O
n=O
l
l - e- itl X
(1 - X COS e) + ÎX sin e
1 - 2x cos e + x2
Réponse : • Pour L cos ne X
11
: R = 1
11,;;:0
1 -X cose
~ S~)=
.
l - 2x COS e + X 2
Réponse : • Pour L sin ne X
11
:
n;;;:O
et
si e fi rr Z
si e E rr Z
x sine
1
S(x) =
1 - 2x cose +x2
S(x) = 0
si e fi rr Z
si e E rr Z
t) Les rayons sont les mêmes que pour s) .
Notons pour x E] - l ; l[:
~ cosne Il
~sin ne Il
S1 (x) = L.., - -x , S2(x) = L.., - -x ,
n= I n
n= l
n
• On a:
+oo
1 - X cose
xS' 1 (x) = "°""' cos ne x
11 =
- l
L..,
l -2x cose +x2
n= l
X cose - x 2
- l - 2x cos e + x2 '
d'où
cose - X
S) (x) =
2
si x -::/= 0
1 - 2x cose +X
(et s; (0) =cos e) ' puis:
fo
x
cose - t
S1 (x) = S1 (0) +
0
2 dt
1 - 2t cose + t
1
2 .
= - 2
[1n ( 1 - 2t cose + t )]Ô·
• Raisonner de manière analogue pour S2.
Réponse:
"'"""' cos n e
• Pour L.., - -x
11
:
n ;;;: I
n
1
R = l et S(x) = - 2
1n (l - 2xcose + x 2 ).
"°""'sin ne
{ 1 si e fi rr Z
•Pour L . --x" : R =
et
n;;, l
n
OO
si e E 1f Z
{
Arctan ( x - cose ) + Arctan cose si e fj n 'il
S(x) =
sin e
sin e
0
si e E n 'il.
1
u) cos 2 n = 2:(1 +cos2n).
Réponse:
R = 1,
1
1 - X COS 2
S~)=
+
.
2(1 - x)
2(1 - 2xcos 2 + x2)
,
1
v) Reponse: R = -,
e
ex
S(x)- - - - -
- 2(1 - ex)2
w) Les séries entières L 2 - 3 Pz 3 P et L 3 3 P+ 2 z 3 P+ 2 sontdisp;;;:O
p;;;:O
l
l
jointes et de rayons respectifs 2 et
3
, d'où R =
3
.
Et: S(z) = ~ (r 3 z 3 )" + ~(3z) 2 (3 3 z 3 )P.
p=O
p=O
,
1
8
9z 2
Reponse:R=3 · S(z)= 8-z3 + l -27z3·
0
c
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p) Réponse:
R = 1,
1
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2
S(x) = - ln - - - ln (1 - x ).
4
1 -x
q) D'abord : R = oo.
Décomposer n 3 + l sur l ,n,n(n - l),n(n - l )(n - 2) :
n 3 + l = n(n - l )(n - 2) + 3n(n - 1) + n + 1, d'où:
+oo
xn
+oo
x"
S(x) = L (n - 3)! + 3 L (n - 2)!
n=3
n=2
+oo
xn
+oo xn
+"L
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= x 3 ex + 3x 2 ex + xex +ex .
Réponse: R = oo, S(x) = (x 3 + 3x 2 + x + l )ex.
Remarque : on peut ainsi calculer, de manière générale,
+oo P(n)
L - -xn, pour tout P de IR[X] (et même P de C[X], cf.
n=O n!
6.6.1 p. 395).
r) D'abord : R = oo.
• Six ~ 0, on note t = Jx, d'où :
+oo t2n
S(x) = 2: -- = cht = ch ,,/X.
n=O (2n)!
•Si x :::;; 0, on note t = Fx, d'où :
+oo (- l)n t2n
S(x) = L
=cos t = cos.J=X.
n=O (2n) !
Réponse: R = oo, S(x) = { ch Jx
cosFx
s) Pour lx 1 < 1, les séries convergent et :
+oo
+oo
L:cosne X
11 +i L: sinne X
11
n=O
n=O
si X ~ 0
si x :::;; O.
+oo
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/1
= L èB xn = L ( ei8 x )
n=O
n=O
l
l - e- itl X
(1 - X COS e) + ÎX sin e
1 - 2x cos e + x2
Réponse : • Pour L cos ne X
11
: R = 1
11,;;:0
1 -X cose
~ S~)=
.
l - 2x COS e + X 2
Réponse : • Pour L sin ne X
11
:
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et
si e fi rr Z
si e E rr Z
x sine
1
S(x) =
1 - 2x cose +x2
S(x) = 0
si e fi rr Z
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t) Les rayons sont les mêmes que pour s) .
Notons pour x E] - l ; l[:
~ cosne Il
~sin ne Il
S1 (x) = L.., - -x , S2(x) = L.., - -x ,
n= I n
n= l
n
• On a:
+oo
1 - X cose
xS' 1 (x) = "°""' cos ne x
11 =
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L..,
l -2x cose +x2
n= l
X cose - x 2
- l - 2x cos e + x2 '
d'où
cose - X
S) (x) =
2
si x -::/= 0
1 - 2x cose +X
(et s; (0) =cos e) ' puis:
fo
x
cose - t
S1 (x) = S1 (0) +
0
2 dt
1 - 2t cose + t
1
2 .
= - 2
[1n ( 1 - 2t cose + t )]Ô·
• Raisonner de manière analogue pour S2.
Réponse:
"'"""' cos n e
• Pour L.., - -x
11
:
n ;;;: I
n
1
R = l et S(x) = - 2
1n (l - 2xcose + x 2 ).
"°""'sin ne
{ 1 si e fi rr Z
•Pour L . --x" : R =
et
n;;, l
n
OO
si e E 1f Z
{
Arctan ( x - cose ) + Arctan cose si e fj n 'il
S(x) =
sin e
sin e
0
si e E n 'il.
1
u) cos 2 n = 2:(1 +cos2n).
Réponse:
R = 1,
1
1 - X COS 2
S~)=
+
.
2(1 - x)
2(1 - 2xcos 2 + x2)
,
1
v) Reponse: R = -,
e
ex
S(x)- - - - -
- 2(1 - ex)2
w) Les séries entières L 2 - 3 Pz 3 P et L 3 3 P+ 2 z 3 P+ 2 sontdisp;;;:O
p;;;:O
l
l
jointes et de rayons respectifs 2 et
3
, d'où R =
3
.
Et: S(z) = ~ (r 3 z 3 )" + ~(3z) 2 (3 3 z 3 )P.
p=O
p=O
,
1
8
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Reponse:R=3 · S(z)= 8-z3 + l -27z3·