"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
• Si - 1 < x ~ 0 , notons t = ,,/="X, d'où :
+oo (- l)11t211
+ oo (-1 )Pt2p+I
S(x) = L
= -t : L - - -
n= I 2n-l
p=O
2p+l
= -tArctan t = -.J=XArctan .J=X.
Réponse: R = 1,
l
Jx ln
1 + Jx
si X E [O; l[
S(x ) =
2
1 - Jx
- .}=X Arctan ,,/="X si x E] - l ; O].
f) D'abord : R = l .
+oo
1
Ona: VxE]-l;l[, S'(x)= :L x 311 = - - · -
3
,
n=O
1 - X
d'où , pour tout x de ] - l ; l [ :
S(x) = S(O) + { x ~ 3 .
lo 1 - t
Pour terminer, utiliser une décomposition en é léments simples.
Réponse:: R = 1,
l
1
S(x) = - 3
ln(l-x) + 6
1n(l +x +x2)
vf3
2x + l nv/3
+ - Arctan- - - - - .
3
v'3
18
l
l + X l
g) Réponse : R = 1, S(x) = - ln - - - -Arctanx.
4
1 -x
2
h) D'abord: R = l. Pour x E] - l ; 1 [ :
+oo l ( 1
1 )
S(x )= :L - - - - . x211
n= 2 2 n - 1 n + 1
1 +oo x2n+2
1 +oo x 211-2
= - :L -
- - :L -
.
2
n
2
n
11= 1
11=3
Réponse: R = l,
{
1 ( 1
2 )
(
2 )
1
x
2
-
-
- X
ln 1 - X + - + -
si X E] - 1; O[U]O; 1 [
S(x) =
2 x2
2
4
Ü
Si X = Û.
1
i) D'abord : R = 1. Puis décomposer
en éléments
n(n + 3)
simples.
Réponse: R = 1,
{
~ (~ - 1) ln (lx) + ~ + ~ + _..!.._ si X E ] - l ; O[U]O; I[
S(x) = 3 x3
9
6x
Jx2
O
si x = O.
j) D'abord : R = 1.
Une décomposition en éléments simples fournit:
4n + 1
1
2
2n2 + n - 1 = n + 1 + 2n - 1 '
d'où S =A+ 2B, où:
+oo XII
A(x) = :L -
,
11= 1 n + l
+oo
xn
B (x)= :L - - .
2n - 1
n= I
+oo xn+I
• xA(x) = : L - - = - ln(l -x)-x
11=1 n + l
• 1) Si x > 0, on note t = Jx, d'où :
+oo t2n
t
l + t Jx 1 + Jx
B (x) = :L - - = - ln - - = -
Jn - - -
n= l 2n - 1
2
l - t
2
1 -Jx
2) Six < 0, on note t = ,,/="X, d'où :
+oo ( - l )" t2"
B(x)= L
= - /Arctan /= - .J=XArctan.J=X.
n= I 2n - 1
Réponse :R = 1,
1
1
1 +Jx
--ln(l -x)-1 +Jx ln - -
x
1 -Jx
S(x) =
1
- :;-ln ( l - x) -1 ~2FxArctan Fx
si X E]Ü; I [
si X E] - 1; Ü[.
SÎ X= Ü
k) Réponse: R = 1, S(x) = (1 +x)ln(l +x)-x.
l) Réponse: R = 1,
x 2 +1
X
S(x) = ---Arctan x + -.
2
2
m) D'abord R = l . Ensuite, remarquer :
+oo
x"+l
S(x)= : L - - - -
11=2 (n + l )n(n - 1)
1
et décomposer
. en éléments simples.
(n + 1)n(n - 1)
Réponse:
R = 1,
(l - x) 2
x
3x 2
S(x) = -
ln (1 - x) - - + - .
2
.
2
4
n) Les séries L 4 2 P z 2 P et L 2 2 P+ 1 z 2 P+ 1 sont « disjointes »
p ~ O
p ~O
1 1
1
et de rayons respectifs 4 , 2:. On en déduit : R = 4 . Puis :
+ oo
+ oo
S(z) = L 42Pz2P + L 22p+ I z2p+ I
p=O
p=O
1
1
--~ 2 +2z
2·
l - 16z
l - 4z
,
l
l
2z
Reponse: R = 4' S(z) = l - 16z2 + l - 4z2·
1
o) R = vf3 (règle de d'Alembert, par exemple).
+oo
Puis: 3S(z) = L (n
2 - n - 3)(3z 2 )
11
•
n=O
+oo
1
+oo
1
On a: L t
11 = - - , L (n + l)t
11 =
2
,
11=0
1 - t 11=0
(1 - t)
+oo
2
:Len+ 2)(n + l )t" =
3
.
n=O
(1 - t)
Décomposer: n 2 - n - 3 = (n + 2)(n + 1) - 4(n + 1) - 1,
et poser t = 3z 2 .
,
1
Reponse : R = v'3,
- 1 +6z 2 - 3z
4
S(z)= - - - - -
(1 - 3z2)3
1 709
0
c
:J
0
(V)
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0
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0
u
• Si - 1 < x ~ 0 , notons t = ,,/="X, d'où :
+oo (- l)11t211
+ oo (-1 )Pt2p+I
S(x) = L
= -t : L - - -
n= I 2n-l
p=O
2p+l
= -tArctan t = -.J=XArctan .J=X.
Réponse: R = 1,
l
Jx ln
1 + Jx
si X E [O; l[
S(x ) =
2
1 - Jx
- .}=X Arctan ,,/="X si x E] - l ; O].
f) D'abord : R = l .
+oo
1
Ona: VxE]-l;l[, S'(x)= :L x 311 = - - · -
3
,
n=O
1 - X
d'où , pour tout x de ] - l ; l [ :
S(x) = S(O) + { x ~ 3 .
lo 1 - t
Pour terminer, utiliser une décomposition en é léments simples.
Réponse:: R = 1,
l
1
S(x) = - 3
ln(l-x) + 6
1n(l +x +x2)
vf3
2x + l nv/3
+ - Arctan- - - - - .
3
v'3
18
l
l + X l
g) Réponse : R = 1, S(x) = - ln - - - -Arctanx.
4
1 -x
2
h) D'abord: R = l. Pour x E] - l ; 1 [ :
+oo l ( 1
1 )
S(x )= :L - - - - . x211
n= 2 2 n - 1 n + 1
1 +oo x2n+2
1 +oo x 211-2
= - :L -
- - :L -
.
2
n
2
n
11= 1
11=3
Réponse: R = l,
{
1 ( 1
2 )
(
2 )
1
x
2
-
-
- X
ln 1 - X + - + -
si X E] - 1; O[U]O; 1 [
S(x) =
2 x2
2
4
Ü
Si X = Û.
1
i) D'abord : R = 1. Puis décomposer
en éléments
n(n + 3)
simples.
Réponse: R = 1,
{
~ (~ - 1) ln (lx) + ~ + ~ + _..!.._ si X E ] - l ; O[U]O; I[
S(x) = 3 x3
9
6x
Jx2
O
si x = O.
j) D'abord : R = 1.
Une décomposition en éléments simples fournit:
4n + 1
1
2
2n2 + n - 1 = n + 1 + 2n - 1 '
d'où S =A+ 2B, où:
+oo XII
A(x) = :L -
,
11= 1 n + l
+oo
xn
B (x)= :L - - .
2n - 1
n= I
+oo xn+I
• xA(x) = : L - - = - ln(l -x)-x
11=1 n + l
• 1) Si x > 0, on note t = Jx, d'où :
+oo t2n
t
l + t Jx 1 + Jx
B (x) = :L - - = - ln - - = -
Jn - - -
n= l 2n - 1
2
l - t
2
1 -Jx
2) Six < 0, on note t = ,,/="X, d'où :
+oo ( - l )" t2"
B(x)= L
= - /Arctan /= - .J=XArctan.J=X.
n= I 2n - 1
Réponse :R = 1,
1
1
1 +Jx
--ln(l -x)-1 +Jx ln - -
x
1 -Jx
S(x) =
1
- :;-ln ( l - x) -1 ~2FxArctan Fx
si X E]Ü; I [
si X E] - 1; Ü[.
SÎ X= Ü
k) Réponse: R = 1, S(x) = (1 +x)ln(l +x)-x.
l) Réponse: R = 1,
x 2 +1
X
S(x) = ---Arctan x + -.
2
2
m) D'abord R = l . Ensuite, remarquer :
+oo
x"+l
S(x)= : L - - - -
11=2 (n + l )n(n - 1)
1
et décomposer
. en éléments simples.
(n + 1)n(n - 1)
Réponse:
R = 1,
(l - x) 2
x
3x 2
S(x) = -
ln (1 - x) - - + - .
2
.
2
4
n) Les séries L 4 2 P z 2 P et L 2 2 P+ 1 z 2 P+ 1 sont « disjointes »
p ~ O
p ~O
1 1
1
et de rayons respectifs 4 , 2:. On en déduit : R = 4 . Puis :
+ oo
+ oo
S(z) = L 42Pz2P + L 22p+ I z2p+ I
p=O
p=O
1
1
--~ 2 +2z
2·
l - 16z
l - 4z
,
l
l
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Reponse: R = 4' S(z) = l - 16z2 + l - 4z2·
1
o) R = vf3 (règle de d'Alembert, par exemple).
+oo
Puis: 3S(z) = L (n
2 - n - 3)(3z 2 )
11
•
n=O
+oo
1
+oo
1
On a: L t
11 = - - , L (n + l)t
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2
,
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:Len+ 2)(n + l )t" =
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n=O
(1 - t)
Décomposer: n 2 - n - 3 = (n + 2)(n + 1) - 4(n + 1) - 1,
et poser t = 3z 2 .
,
1
Reponse : R = v'3,
- 1 +6z 2 - 3z
4
S(z)= - - - - -
(1 - 3z2)3
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