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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Supposons que, pour tout V de ViR (0) , f 1 v -:/= 0 et g 1 v -:/= 0. Par
unicité du DSE(O) de la fonction nulle, on a : (an)n -:/= 0 ,
(bn)n -:/=O.
Il existe donc n 1 = Min{n E N; an -:/= O}
et nz = Min{n E N; bn -:/= 0}. Alors :
Cn 1 +n2 = aobn1 +n2 + ... + an 1- I bn2+I + Gn1 bn2
+an 1 +1bni- I + ... +an 1 +n 2 bo=an 1 bn 2 -:/=O,
d'où une contradiction.
On peut résumer le résultat de l'exercice par : l'anneau des
(germes de) fonctions dSE(O) est intègre.
R e m arq ue r d ' abord :
\:/ k E {l , ... ,n) ,
Zk-:/= 0
(car ao-:/= 0). Notons p = Min lzkl > 0 ; on a, pour tout z
l ~ k ~n
de
11
l
11
1 ( z )-I
P (z ) = 6 Z - Zk = t;-Zk l - Zk
-I: -- I: -
11
(
1 +
00
(
z )q)
k= I
Zk q=O Zk
= - I: ( t q~l ) zq = - I: Sq + IZq.
q=O k= 1 Zk
q=O
On obtient ainsi, pour tout z de
P' (z ) = -P (z ) L Sqzq- I _
q= I
Soit p E N fixé. Par unicité du DSE(O), on peut « identifier »
les termes en zP- 1 dans la re lation précédente , d 'où :
fJ
pap = - L ap- qSq.
q= I
Application : Dans l exemple : n = 4 , a 0 = a 1 = a2 = a 4 = 1,
a 3 =O.
• a 1 + aoS1 = 0, d' où S1 = -1.
• 2a2 +a 1S1 +aoS2 =0 , d'où S2 = - 1
• 3a3 + a2S1 + cqSz + aoS3 = 0 , d'où S3 = 2.
Réponse: 2.
a) La règle de d'Al embert montre que le rayon est 1.
Dans les calculs suivants : z E
+oo
1
L z" = - - , d'où, par dén=O
1 - z
rivation :
1
+oo
- --=- 2
= L: cn + l )z" ,
(1 - z )
n=O
2
+oo
- - -
3
= L: cn + 2)(n + l ) z" ,
( l - z )
n=O
6
+oo
- - -
4
= L (n+3 )(n+2)(n+1)z".
(1 - z)
n=O
En notant Po= l , P1 =X+ l , P2 =(X+ 2)(X + 1) ,
P3 =(X + 3)(X + 2)(X + 1) , on voit que
( Po, P1 , Pz , P3) est une base de IR3 [X]. On obtient e n particulier la décomposition suivante :
X 3 = P3 - 6X 2 - llX - 6
= P3 - 6P2 + 7X + 6 = P3 - 6P2 + 7 P1 - Po.
+oo
D'où : S(z) = L: n 3 z
11
n=O
6
12
7
1
=
-
+
- - -
(1 - z) 4
(1 - z)3
(1 - z)2
1 - z ·
Réponse: R = 1,
z + 4z
2 + z
3
S(z) = - (1--- z). . . , . . . 4 -
Remarque : on peut ainsi calculer, de manière générale,
+oo
L P(n)z" pour tout P de
b) D'abord: R = 1. En notant u = - z 2 , on a, pour lz l < l:
+oo
zS(z) = L n
2 u"
n=l
+oo
= L ( (n + 2)(n + 1) - 3(n + 1) + 1 )u"
n=O
2
3
1
u + u 2
=
-
+ - - = -- -
(l-u) 3
(l-u)2
l -u
( l - u )3
z4 - z2
( 1 + z2)3.
Réponse : R = 1,
z 3 -z
S(z) =
2 3.
(1 + z )
c)D'abord, R = 1. Pourx E]-1 ; l[-{0} :
S(x) = I: (n -2 + -
6
- .) x"
n=O
n + 1
+oo
+oo
6 +oo x"+ 1
= '\' (n + l )xn - 3 '\' x" + - '\' -
L.,
L.,
x L.,n + l
n=O
n=O
11=0
1
3
6
=
- - - - - ln (l -x).
(l-x)2
l - x
x
Réponse : R = 1,
- - - - - ln (l - x) si x E] - ! ; O[U]O; ! [
1
- 2 + 3x 6
S(x) = ( 1 - x )
2 /
Si X= 0
d) Réponse: R = 1,
x2
S(x) =
2 2
- ln (1 - x 2 ) .
(1 - X )
e) D'abord: R = l. Soit x E] -1 ; l[.
• Si 0 ~ x < 1 , notons t = ,JX, d'où :
+oo t2n
t
l + t ,JX 1 + ,JX
S(x) = I:-- = - l n - = - l n - - .
2n-l
2
1 -t
2
1- rx
n= I
V""
0
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Supposons que, pour tout V de ViR (0) , f 1 v -:/= 0 et g 1 v -:/= 0. Par
unicité du DSE(O) de la fonction nulle, on a : (an)n -:/= 0 ,
(bn)n -:/=O.
Il existe donc n 1 = Min{n E N; an -:/= O}
et nz = Min{n E N; bn -:/= 0}. Alors :
Cn 1 +n2 = aobn1 +n2 + ... + an 1- I bn2+I + Gn1 bn2
+an 1 +1bni- I + ... +an 1 +n 2 bo=an 1 bn 2 -:/=O,
d'où une contradiction.
On peut résumer le résultat de l'exercice par : l'anneau des
(germes de) fonctions dSE(O) est intègre.
R e m arq ue r d ' abord :
\:/ k E {l , ... ,n) ,
Zk-:/= 0
(car ao-:/= 0). Notons p = Min lzkl > 0 ; on a, pour tout z
l ~ k ~n
de
11
l
11
1 ( z )-I
P (z ) = 6 Z - Zk = t;-Zk l - Zk
-I: -- I: -
11
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1 +
00
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k= I
Zk q=O Zk
= - I: ( t q~l ) zq = - I: Sq + IZq.
q=O k= 1 Zk
q=O
On obtient ainsi, pour tout z de
P' (z ) = -P (z ) L Sqzq- I _
q= I
Soit p E N fixé. Par unicité du DSE(O), on peut « identifier »
les termes en zP- 1 dans la re lation précédente , d 'où :
fJ
pap = - L ap- qSq.
q= I
Application : Dans l exemple : n = 4 , a 0 = a 1 = a2 = a 4 = 1,
a 3 =O.
• a 1 + aoS1 = 0, d' où S1 = -1.
• 2a2 +a 1S1 +aoS2 =0 , d'où S2 = - 1
• 3a3 + a2S1 + cqSz + aoS3 = 0 , d'où S3 = 2.
Réponse: 2.
a) La règle de d'Al embert montre que le rayon est 1.
Dans les calculs suivants : z E
+oo
1
L z" = - - , d'où, par dén=O
1 - z
rivation :
1
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- --=- 2
= L: cn + l )z" ,
(1 - z )
n=O
2
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3
= L: cn + 2)(n + l ) z" ,
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= L (n+3 )(n+2)(n+1)z".
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En notant Po= l , P1 =X+ l , P2 =(X+ 2)(X + 1) ,
P3 =(X + 3)(X + 2)(X + 1) , on voit que
( Po, P1 , Pz , P3) est une base de IR3 [X]. On obtient e n particulier la décomposition suivante :
X 3 = P3 - 6X 2 - llX - 6
= P3 - 6P2 + 7X + 6 = P3 - 6P2 + 7 P1 - Po.
+oo
D'où : S(z) = L: n 3 z
11
n=O
6
12
7
1
=
-
+
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(1 - z) 4
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Réponse: R = 1,
z + 4z
2 + z
3
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Remarque : on peut ainsi calculer, de manière générale,
+oo
L P(n)z" pour tout P de
b) D'abord: R = 1. En notant u = - z 2 , on a, pour lz l < l:
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zS(z) = L n
2 u"
n=l
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= L ( (n + 2)(n + 1) - 3(n + 1) + 1 )u"
n=O
2
3
1
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-
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(l-u) 3
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( 1 + z2)3.
Réponse : R = 1,
z 3 -z
S(z) =
2 3.
(1 + z )
c)D'abord, R = 1. Pourx E]-1 ; l[-{0} :
S(x) = I: (n -2 + -
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- .) x"
n=O
n + 1
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l - x
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Réponse : R = 1,
- - - - - ln (l - x) si x E] - ! ; O[U]O; ! [
1
- 2 + 3x 6
S(x) = ( 1 - x )
2 /
Si X= 0
d) Réponse: R = 1,
x2
S(x) =
2 2
- ln (1 - x 2 ) .
(1 - X )
e) D'abord: R = l. Soit x E] -1 ; l[.
• Si 0 ~ x < 1 , notons t = ,JX, d'où :
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l + t ,JX 1 + ,JX
S(x) = I:-- = - l n - = - l n - - .
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