"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
c) D'après 6.4 Théorème 1 p. 372, S est continue sur] - 1; 1[.
Comme la série converge en - 1, on peut poser
+oo
l
S(-1) = z)-l)nsin - .
n=I
.jn
Pour x E (-1; O] , la série numérique L (sin .)n) x"
,,;;, J
relève du TSCSA, donc : V n E N,
1
f (sin ~)x 11 I ~ Jsin ~x"+'I ~ sin~·
k= 11 + 1
v n
v n + 1
v n + 1
On en déduit que la série d'applications
L ( x r----+ ( sin .)n) x") converge uniformément sur
11?3 ]
[ -1; O] , et donc S est continue en -1 .
Réponse : S est continue sur [ -1; 1 [.
d) On a, pour tout x de ]O; 1 [ :
+oo (
1 )
+
00
(
J )
(1 - x )S(x) = L sin ,Jn x" - L sin ,Jn x"+
1
n=l
n= l
+oo (
1
1 )
= xsin 1 + L sin ,Jn - sin Jn _
1
x".
11=2
Comme
sin-1- - sin--1- = _l_ - __ l _ + 0 (-1-)
,Jn
Jn=l ,Jn Jn=l 1100 n ~
-
+o -
-1
( 1 )
- Jn,Jn=l(,Jn + Jn=l)
n~
la série d'application
L ( x r----+ (sin .)n -sin J n
1
_
1
) x
11
)
est normalement
11;;,2
(donc uniformément) convergente sur [-1 ; l], et donc sa
somme et continue sur [-1; l]. On en déduit:
+oo (
]
]
)
(1 - x)S(x) --+ sin 1 + L sin r.: - sin J . =O.
x--> I -
11
= 2
.yn
n- 1
Un sens est évident.
Réciproquement, si h est dSE(O) alors h est C
00 au voisinage
de 0 et:
Vn EN, J<
11 l(O) = h (n)(O) = g<
11 l (O).
On en déduit que, au voisinage de 0 :
+oo JM (0)
+oo g<11) (0)
f (x) = L - - x " = L - - x " = g(x).
11= 0
n!
n=O
n!
Soient/ED, s > 0; on va prouver B(f,s) et D.
Considérons {
-:t
,
si X -j. 0
Si X= 0
Ona:
Mais (cf. 6.5. l Remarque p. 378), f + s On peut remarquer, plus généralement que D est un sous-IR-ev
0
de E, distinct de E , et donc D = 0, cf. ex 1.1.27.
Notons P = aX 2 + bX + c, (a,b,c) E IR 3 , a -j. O.
L'application f est dSE(O) comme produit
(f (x) = eax
2
ebx é) , donc est C
00 sur IR et
J'=f P '
!" = f I P' + f P"
n- 1
f(n) = (f')(n-1) = L c~ _ if(n-1-k)(P')(k)
k=O
= /(11-l) P' + (n - l)f(n-2) P ".
+oo
En notant f (x) = L a 11 x
11 le DSE(O), supposons qu'il existe
n=O
no EN tel que a,, 0 = a 110 + 1 =O.
Alors, comme V n EN - {O, 1),
f(n) (0)
J
--+
--,
n!
(n-1)!
n
(n-2)!
n
on déduit, par une récurrence immédiate :
Alorsfestun polynôme(de degré ~no - 1) ; comme/= eP,
en comparant le comportement en +oo, on conclut à une contradiction.
L'application f est C
00 sur IR et : f" = (P' 2 + P")eP.
En particulier:
Comme les coefficients du DSE(O) de f sont tous ~ 0, ceux
du DSE(O) def" le sont aussi, etdoncf"(xo) ~ O. Finalement:
P "(xo) = f"(xo)e-P
+oo
Notons f (x) = L a,,xn, g(x) = L b,,xn les DSE(O) de
n=O
n=O
f,g; alors:
fg(x) = L: c 11 x
11 où: Vn EN,
n=O
n
C11 = L Gkbn - k.
k=O
1 707
0
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c) D'après 6.4 Théorème 1 p. 372, S est continue sur] - 1; 1[.
Comme la série converge en - 1, on peut poser
+oo
l
S(-1) = z)-l)nsin - .
n=I
.jn
Pour x E (-1; O] , la série numérique L (sin .)n) x"
,,;;, J
relève du TSCSA, donc : V n E N,
1
f (sin ~)x 11 I ~ Jsin ~x"+'I ~ sin~·
k= 11 + 1
v n
v n + 1
v n + 1
On en déduit que la série d'applications
L ( x r----+ ( sin .)n) x") converge uniformément sur
11?3 ]
[ -1; O] , et donc S est continue en -1 .
Réponse : S est continue sur [ -1; 1 [.
d) On a, pour tout x de ]O; 1 [ :
+oo (
1 )
+
00
(
J )
(1 - x )S(x) = L sin ,Jn x" - L sin ,Jn x"+
1
n=l
n= l
+oo (
1
1 )
= xsin 1 + L sin ,Jn - sin Jn _
1
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11=2
Comme
sin-1- - sin--1- = _l_ - __ l _ + 0 (-1-)
,Jn
Jn=l ,Jn Jn=l 1100 n ~
-
+o -
-1
( 1 )
- Jn,Jn=l(,Jn + Jn=l)
n~
la série d'application
L ( x r----+ (sin .)n -sin J n
1
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1
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11
)
est normalement
11;;,2
(donc uniformément) convergente sur [-1 ; l], et donc sa
somme et continue sur [-1; l]. On en déduit:
+oo (
]
]
)
(1 - x)S(x) --+ sin 1 + L sin r.: - sin J . =O.
x--> I -
11
= 2
.yn
n- 1
Un sens est évident.
Réciproquement, si h est dSE(O) alors h est C
00 au voisinage
de 0 et:
Vn EN, J<
11 l(O) = h (n)(O) = g<
11 l (O).
On en déduit que, au voisinage de 0 :
+oo JM (0)
+oo g<11) (0)
f (x) = L - - x " = L - - x " = g(x).
11= 0
n!
n=O
n!
Soient/ED, s > 0; on va prouver B(f,s) et D.
Considérons {
-:t
,
si X -j. 0
Si X= 0
Ona:
Mais (cf. 6.5. l Remarque p. 378), f + s On peut remarquer, plus généralement que D est un sous-IR-ev
0
de E, distinct de E , et donc D = 0, cf. ex 1.1.27.
Notons P = aX 2 + bX + c, (a,b,c) E IR 3 , a -j. O.
L'application f est dSE(O) comme produit
(f (x) = eax
2
ebx é) , donc est C
00 sur IR et
J'=f P '
!" = f I P' + f P"
n- 1
f(n) = (f')(n-1) = L c~ _ if(n-1-k)(P')(k)
k=O
= /(11-l) P' + (n - l)f(n-2) P ".
+oo
En notant f (x) = L a 11 x
11 le DSE(O), supposons qu'il existe
n=O
no EN tel que a,, 0 = a 110 + 1 =O.
Alors, comme V n EN - {O, 1),
f(n) (0)
J
--+
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n!
(n-1)!
n
(n-2)!
n
on déduit, par une récurrence immédiate :
Alorsfestun polynôme(de degré ~no - 1) ; comme/= eP,
en comparant le comportement en +oo, on conclut à une contradiction.
L'application f est C
00 sur IR et : f" = (P' 2 + P")eP.
En particulier:
Comme les coefficients du DSE(O) de f sont tous ~ 0, ceux
du DSE(O) def" le sont aussi, etdoncf"(xo) ~ O. Finalement:
P "(xo) = f"(xo)e-P
+oo
Notons f (x) = L a,,xn, g(x) = L b,,xn les DSE(O) de
n=O
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f,g; alors:
fg(x) = L: c 11 x
11 où: Vn EN,
n=O
n
C11 = L Gkbn - k.
k=O
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