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0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
1
sinn 1
lsinn l
L lsinn l
a) - - ~ - - et
- -
2
-z
11 est de même rayon
n2 + 1 noo n2
n
11;;, l
que L: sinn z
11
•
11 ;;, J
Réponse: 1.
1
cosn
1
lcos n l lcos nl
lcos nl
b)
~ - - , - - ~ - -
~ lcos n l,
.Jn + (-1) 11 1100 Jn
n
Jn
"""'"" lcosn l
"""'""
et L.., - - z
11 et L.., lcosn lz" ont le même rayon 1.
n;;, l
n
n;;,1
Réponse: 1.
Soit z E
" 2 , pq ~ p+q ,
on a:
" 2 ,
Puisque lzl < 1, la série L lbqzql converge, donc, pour tout
q ;;.2
p E N*, la série L lap bqzpq 1 converge, et :
q ;;.2
+ oo
+oo
+ oo
L lapbqzpql ~ L lapzPI lb"zql = lapzP I L lbqzq l.
q= 2
q = 2
q = 2
Comme lz l < 1, la série L lapzPI converge, donc, par
p ;;,2
+ oo
majoration, la série L L lapbqzpq 1 converge, puis la série
p ;;,2 q= 2
+oo
L L lap bqzpq 1 converge.
p ;;, 1 q= l
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo +oo
L
apbqz"q = L L apbqz"q
(p , q)E(N*J2
p = l q = I
= ~ap (~bq(Z")")
+oo
= L:a"B(zP)
p= l
+oo + oo
L
apbqz"" = L L apbqzpq
(p, q)E(N*)2
q= I p=I
+oo
= LbqA(z") .
q= I
Exemples:
1) On prend ap = a P; bq = f3q,
+oo
+oo
d'où
A(z) = """'""apz" = """'""caz)" = ~ .
L..,
L..,
1 - a z
et donc:
p=I
p= l
B( ) - _!!!:__
z - 1-fJz'
+oo
f3zP
+oo
azq
l:a"
= l:tJq - -
p=I
1 - f3zP
q=I
1 - azq
En simplifiant par a{Jz (les cas a= 0, f3 = 0 , z = 0 étant
d'étude immédiate), on conclut :
+oo aP-lzP
+oo f3q-Izq
L 1 - f3 zP = L 1 - a zq ·
p=I
q= I
2) •En remplaçant a par 1 et f3 par -1 dans le résultat précédent (et en multipliant par z), on obtient :
+oo zP
+oo (-l)q-lzq
L 1 + zP = L 1 - zq
p= l
q=I
• En prenant ap = 1 et bq = q, on obtient
et
d'où:
+oo
Z
A(z) = """' "" z" = -
L..,
1- z
p=l
+oo
Z
B(z) = L qzq = --~
q= I
(1 - z)2'
+oo
Z p
+oo
+oo
"""' ""
="""'""a B(z") = """'""b A(zq )
L.., (1
P)2
L.., p
L.., q
q= l
- z
p=l
q= l
+oo
zq
="""'""q -
L..,
1 - zq ·
q= l
• En prenant a p = 1 et bq = (- l)q - l q, on obtient
+oo
A(z) = """'""z" = _ z_
L..,
1- z
p=l
+oo
z
B(z) = - Lq(-z)q =
,
q=I
(1 + z)2
et
+oo
Z p
+oo
+oo
d'où: """'""
= """'"" a B(z") = """'""b A(zq)
L.., (1 + zP)2 L.., p
L.., q
p=l
p= I
q= l
~
+oo
.
q
= """'""C-l )q- lq _z_ .
L..,
1 - zq
q= I
1
1
a) sin r.; ~ r.;• puis règle de d ' Alembert.
yfl noo yfl
Réponse: 1.
1
1
b) •En 1 : sin -
~ -
> 0
Jn noo Jn
1
et L Jn diverge.
n;;, 1
. 1
(-1)
11
(
1 )
• En -1 : ( -1)
11 sm -
= - - + 0 - 3
.
Jn
Jn noo n ï
Réponse : Il y a convergence en -1 et divergence en l.
0
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a) - - ~ - - et
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11 est de même rayon
n2 + 1 noo n2
n
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que L: sinn z
11
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11 ;;, J
Réponse: 1.
1
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1
lcos n l lcos nl
lcos nl
b)
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~ lcos n l,
.Jn + (-1) 11 1100 Jn
n
Jn
"""'"" lcosn l
"""'""
et L.., - - z
11 et L.., lcosn lz" ont le même rayon 1.
n;;, l
n
n;;,1
Réponse: 1.
Soit z E
" 2 , pq ~ p+q ,
on a:
" 2 ,
Puisque lzl < 1, la série L lbqzql converge, donc, pour tout
q ;;.2
p E N*, la série L lap bqzpq 1 converge, et :
q ;;.2
+ oo
+oo
+ oo
L lapbqzpql ~ L lapzPI lb"zql = lapzP I L lbqzq l.
q= 2
q = 2
q = 2
Comme lz l < 1, la série L lapzPI converge, donc, par
p ;;,2
+ oo
majoration, la série L L lapbqzpq 1 converge, puis la série
p ;;,2 q= 2
+oo
L L lap bqzpq 1 converge.
p ;;, 1 q= l
On peut donc appliquer le théorème de Fubini :
+oo +oo
L
apbqz"q = L L apbqz"q
(p , q)E(N*J2
p = l q = I
= ~ap (~bq(Z")")
+oo
= L:a"B(zP)
p= l
+oo + oo
L
apbqz"" = L L apbqzpq
(p, q)E(N*)2
q= I p=I
+oo
= LbqA(z") .
q= I
Exemples:
1) On prend ap = a P; bq = f3q,
+oo
+oo
d'où
A(z) = """'""apz" = """'""caz)" = ~ .
L..,
L..,
1 - a z
et donc:
p=I
p= l
B( ) - _!!!:__
z - 1-fJz'
+oo
f3zP
+oo
azq
l:a"
= l:tJq - -
p=I
1 - f3zP
q=I
1 - azq
En simplifiant par a{Jz (les cas a= 0, f3 = 0 , z = 0 étant
d'étude immédiate), on conclut :
+oo aP-lzP
+oo f3q-Izq
L 1 - f3 zP = L 1 - a zq ·
p=I
q= I
2) •En remplaçant a par 1 et f3 par -1 dans le résultat précédent (et en multipliant par z), on obtient :
+oo zP
+oo (-l)q-lzq
L 1 + zP = L 1 - zq
p= l
q=I
• En prenant ap = 1 et bq = q, on obtient
et
d'où:
+oo
Z
A(z) = """' "" z" = -
L..,
1- z
p=l
+oo
Z
B(z) = L qzq = --~
q= I
(1 - z)2'
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+oo
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L.., (1
P)2
L.., p
L.., q
q= l
- z
p=l
q= l
+oo
zq
="""'""q -
L..,
1 - zq ·
q= l
• En prenant a p = 1 et bq = (- l)q - l q, on obtient
+oo
A(z) = """'""z" = _ z_
L..,
1- z
p=l
+oo
z
B(z) = - Lq(-z)q =
,
q=I
(1 + z)2
et
+oo
Z p
+oo
+oo
d'où: """'""
= """'"" a B(z") = """'""b A(zq)
L.., (1 + zP)2 L.., p
L.., q
p=l
p= I
q= l
~
+oo
.
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= """'""C-l )q- lq _z_ .
L..,
1 - zq
q= I
1
1
a) sin r.; ~ r.;• puis règle de d ' Alembert.
yfl noo yfl
Réponse: 1.
1
1
b) •En 1 : sin -
~ -
> 0
Jn noo Jn
1
et L Jn diverge.
n;;, 1
. 1
(-1)
11
(
1 )
• En -1 : ( -1)
11 sm -
= - - + 0 - 3
.
Jn
Jn noo n ï
Réponse : Il y a convergence en -1 et divergence en l.