"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Sie = R = 0, on ne peut rien conclure sur R', comme le montrent les exemples suivants :
1
an= n!
I)
Un = _..!:._, et alors R' = 1
n!
1
an = (n!) 2
2)
1 ,etalors R'= O
Un= -
n!
1
an= n!
3)
u = _ l _, et alors R' = oo .
n
(n!)2
Réponse:
e
si e > 0
R ' =OO
1
R' = !!:_
pas de conclusion sur R'
si (f, = 0 et R > 0)
si f, = R =O.
Notons R' le rayon de Ln !anzn.
n ;;. l
(i) = } (ii)
Il existe M E IR+, N E N* tels que, pour tout n de N* :
.,fï::i
M
n n!
n
n > N = } v 1un1 ~ - = } ln!anl ~ M - ~ M.
n
n 11
1
1
On en déduit, par comparaison de rayons : R ? M > O.
(ii) = } (i)
La suite (n!an ( R' ) n )
est bornée: il existe C E IR+ tel
2
11 ;;. I
que : 'v'n EN*, ln!an ( ~')"I ~ C.
l
D'où: 'v'n EN*,
i
c;;
lanl" ~--~ i R'.
D'une part :
D'autre part :
i
c ;;--+ 1.
noo
(n•) n -
.
2
1n(Cn!)~) = ~1n (Gr v12ITTï (1+ocl)))
= ~ (ntnn -n+ln(v'27W)) (1 +o(l))
= ln n - 1 + o(l),
d'où (n!)~ ~ eln n- I
n
noo
e
et finalement : lan 1 ~ = 0 (~).
noo n
Remarquer d'abord que le rayon de L a 11 xn est ? 1.
n;;.O
Notons A : ] - 1; 1 [--+ IC et B : ] - 1; 1 [--+ IR les sommes
respectives de L anX
11
,
n;;.O
Lb11 x
11 .
n;;.O
1) Pui sque L b 11 diverge et est à termes ? 0 , on a :
11 ;;.0
n
" bk --+ +oo.
L...,
1100
k=O
Soit C1 > 0 fi xé; il existe N1 EN tel que :
N i
Lbn? Ci+ 1.
n=O
N i
N i
Comme
Lb 11 xn ----: Lbn ? C1 +l, il existe
11 = 0
X--> I 11=0
171 E]O; 1 [ tel que :
N i
'v'xE]l-171;1[,
Lbn xn?C1.
11 = 0
N i
On a alors: 'v' x E]l - 171 ; l[, B (x) ? L bnX 11 ? C 1
n=O
Ceci prouve: B (x) ----+ + oo.
X--> 1a
2) Soit B > 0 fixé. Puisque_.!!..--+ e, il existe N E N tel que:
bn noo
'in > N, lan - ebnl ~ Bbn .
On déduit : 'v' x E]O; 1 [,
1
+oo
+oo
1
+oo
L
a11x
11 -f, L
bnxn ~ B L
bnxn ~ s B (x),
n=N+ I
n=N+l
n=N+ l
puis:
'v' X E]Ü; 1 [,
CommeNestfixéetqueB(x)----+ +oo,ilexiste17 E]O; l[
x--> 1tel que:
lta(an -fbn)x
11
I
'v' x E]l -17; I[, - - - - - - B(x)
On obtient ainsi :
1
A(x)
1
Vs > 0, 317 E]Ü; l[,Vx E]l - 1]; l[, - - - f, < 2s,
B (x)
A(x)
et donc - - ----+ e.
B (x)x-->1 -
Raisonnement analogue à celui de la solution de l'exercice 6.1.12.
N
l:.::Ca11 - fbn)x
11
Pour montrer
n=O
- - - - - - -------+ 0,
B(x)
x-->+oo
remarquer
1 705