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0
(V)
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0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
a) Raisonnons par l'absurde : supposons sin(n 2 )--+ O.
noo
Comme : sin ( (n + 1)
2 )
= sin (n 2 )cos (2n + 1) +cos (n 2 )sin (2n + l ),
on déduit cos(n 2 ) sin(2n + 1)--+ O.
noo
d'où sin(2n + 1) --+ O.
n.oo
D'a près Analyse MPSI, exercice 3. l.14, o n sait que pour
a E IR- n Z fi xé, les suites (sin na)net (cos na )n divergent,
d'où une contradiction.
Remarque : o n peut adapter la méthode précédente pour montrer que, pour presque tout polynôme P de IR[X ] de degré ? 2 ,
les suites (sin(P(n))),, et ( cos(P(n)))n divergent.
b) Réponse : 1.
an· ,...., ~
~ n
) 1
( a b-a ) "{h
(bn ) !ncn noo
bb
b
!
0
si a - b - c > 0
Réponse :
oo
si a - b - c < 0
bba-aea-b si a - b - c =O.
a) Remarquer :
Vn EN*, n P ::::;; Œp(n ) ::::;; n.n P = n P+ l .
Réponse: 1.
b) Remarquer : V n E N*, 1 ::::;; qi (n) ::::;; n.
Réponse : 1.
Puisque ( an z 0 n) --+ 0
n noo
et que L a,,z 0 n'est pas abson;;:O
Jument convergente, on a lzo l ::::;; R et lzo l ? R.
Soit z E C.
R
• Si lz l < ÏÀI'
R
• Si lzl > ÏÀI'
,
R
Reponse : ÎÀI.
alors L an (J.. z)" converge absolument.
n;;:O
alors (a,, (J.. z )" ) ,, diverge.
Soit z E C . On a :
• lzl < RP => lz l~ < R => a11(lz l ~ )" --+ 0
1100
=> la11 IPlzl" = la 11 ( lzl i )" IP --+ Ü=> lz l :( R'
1100
• lz l < R' => lanl"z"--+ 0
11 00
Réponse : R' = R" .
Notons R , R' les rayons respectifs de
1) (V n E N* , la ,, en" 1 ? la,, I) , d'où R' ::::;; R .
2) Pour montrer R' ~ R, la méthode est analogue à celle de
la preuve du lemme d' Abel, cf. § 6. 1.2 Prop. Soit z E C tel
que lz l < R ; il existe p E IR tel que :
On a:
D 'une part,
lzl < p < R.
a,, p" --+ 0 (car p < R ).
noo
D'aut re part,
(
lz l) n "
(
lz l
)
p e" = exp n ln p + na ~ 0,
lz l
car ü < - < leta E] - oo;l [ .
p
Ceci mo ntre a,, e"" z" --+ 0 , et donc lz l ::::;; R' .
noo
Il en résulte : R' ~ R.
Fi nalement : R' = R .
Supposons e # O. Soit & E]Ü; f, [; il existe N E N tel que :
On e n déduit qu'il existe (C1 , C2) E (IP(~J
2 tel que:
Vn > N,
d'où:
D'après l'exercice 6.1.7, les séries entières L C1 (f, - &)" a nz"
n > N
R
R
et '°' C2(f + &)nanzn sont de rayons - - , - - resn~
f-&
e + &
pectivement.
On e n déduit que le rayon R' de L u,,a,,z" vérifie :
n;;:O
R
,
R
--:;::;; R ::::;;--.
e + &
e-&
Cette inégalité étant acquise pour tout & de ]O; f [, on obtient,
en faisant tendre & vers o+ : R' = !!_
e
Traiter de façon analogue Je cas : e = 0 et R > 0 .
0
c
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a) Raisonnons par l'absurde : supposons sin(n 2 )--+ O.
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Comme : sin ( (n + 1)
2 )
= sin (n 2 )cos (2n + 1) +cos (n 2 )sin (2n + l ),
on déduit cos(n 2 ) sin(2n + 1)--+ O.
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d'où sin(2n + 1) --+ O.
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D'a près Analyse MPSI, exercice 3. l.14, o n sait que pour
a E IR- n Z fi xé, les suites (sin na)net (cos na )n divergent,
d'où une contradiction.
Remarque : o n peut adapter la méthode précédente pour montrer que, pour presque tout polynôme P de IR[X ] de degré ? 2 ,
les suites (sin(P(n))),, et ( cos(P(n)))n divergent.
b) Réponse : 1.
an· ,...., ~
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Réponse :
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bba-aea-b si a - b - c =O.
a) Remarquer :
Vn EN*, n P ::::;; Œp(n ) ::::;; n.n P = n P+ l .
Réponse: 1.
b) Remarquer : V n E N*, 1 ::::;; qi (n) ::::;; n.
Réponse : 1.
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Jument convergente, on a lzo l ::::;; R et lzo l ? R.
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Reponse : ÎÀI.
alors L an (J.. z)" converge absolument.
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Soit z E C . On a :
• lzl < RP => lz l~ < R => a11(lz l ~ )" --+ 0
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• lz l < R' => lanl"z"--+ 0
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Réponse : R' = R" .
Notons R , R' les rayons respectifs de
1) (V n E N* , la ,, en" 1 ? la,, I) , d'où R' ::::;; R .
2) Pour montrer R' ~ R, la méthode est analogue à celle de
la preuve du lemme d' Abel, cf. § 6. 1.2 Prop. Soit z E C tel
que lz l < R ; il existe p E IR tel que :
On a:
D 'une part,
lzl < p < R.
a,, p" --+ 0 (car p < R ).
noo
D'aut re part,
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lz l
)
p e" = exp n ln p + na ~ 0,
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Il en résulte : R' ~ R.
Fi nalement : R' = R .
Supposons e # O. Soit & E]Ü; f, [; il existe N E N tel que :
On e n déduit qu'il existe (C1 , C2) E (IP(~J
2 tel que:
Vn > N,
d'où:
D'après l'exercice 6.1.7, les séries entières L C1 (f, - &)" a nz"
n > N
R
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et '°' C2(f + &)nanzn sont de rayons - - , - - resn~
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On e n déduit que le rayon R' de L u,,a,,z" vérifie :
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Cette inégalité étant acquise pour tout & de ]O; f [, on obtient,
en faisant tendre & vers o+ : R' = !!_
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Traiter de façon analogue Je cas : e = 0 et R > 0 .