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Ol
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>0.
0
u
l Io" sin u
l Io" sin u
d'où: -
du ~ lan l ~ -
~du,
2 o Jnn +n
2 o ..;nn
1
l
c'est-à-dire :
~ la11 I ~ ~.
J(n + l)rr
..;nrr
Réponse: 1.
1
1
e') - -
1
~ lan l ~ - -
1
•
na+
naRéponse: 1.
f') Réponse: ~ Max(l ,b).
a
g ') D'après Analyse MPSI, 8.2.3 3) :
Arccos (1 - __!_) ~ . ,/2 (T = ~n-~ .
n a noo
Y -;;a
Réponse: 1.
h') D'après 3.3.7 1) b) Exemple p. 258:
ln(n!) ~ nlnn.
noo
Comme, pour z E ln la,, znl = aln(ln(n!)) - bln(n!) + nlnlzl ,
on déduit:
• si b > 0 , alors lnla 11 znl ~ -bn Inn ,
noo
donc an Z
11 ---+ 0
noo
•si b < 0 , alors lanz
11 I---+ +oo
1100
•si b = 0 ,
i')\:/ z E Réponse: l.
j') V Z E si b > 0
si b =O.
si b < 0
si lzl < 1
si lzl > l.
l
_ _ n_ a_ I -z" 1 = exp(aln n - Inn ln ln n + n ln lz l)
(lnn) nn
{
0
si
-;;;;- +oo si
Réponse: l.
lz l < 1
lz l > 1.
k ' ) Pour z E Répons<' 1 !
l') Pour z E si (a = 0 ou b < 1)
si (a > 0 et b ;::: 1).
si (a < 0 et b ;::: 1)
\°
si (c > 2 et ab > 0)
,
OO
si (c > 2 et ab < 0)
Reponse : e~a b si c =2
si C< 2
(shn)a
(en )a- b
m ' ) - - ~ -
= 2b-a (ea- br.
(chn)b noo 2
Réponse : eh-a .
n ' ) Pour z E IC*: la
11 b Zn 1 =exp (nb lna + n ln lzl).
Répon~: 1 f
si (a > 1 et b > 1)
si (a < 1 et b > 1)
si ((a = 1 et b > 1) ou ~l)
si b = l.
a
o ' ) \;/ Z E le =exp ( ana - l + o(na- I) + n lnlz l).
si a > 2
si a= 2
si a < 2.
p ' ) \;/ Z E 1 (1 + ~r· znl =exp (na- l +o(na- I) +n ln lz l).
si a > 2
si a= 2
si a < 2.
q ') \:/ Z E 1 (ch~ r• Zn 1 =exp (~na- 2 + o (na-2) + nln lz l).
si a > 3
si a= 3
si a < 3.
<')Réponse: { l
si a < O
si a=O
chl
1
si a > O.
ln
= ln 1 + - - - - ln 1 + -
( -1 )n + Jn
(
( -1)
11
)
1 (
1 )
vn+T
Jn
2
n
- (-l)n ~ + 0 (-1 )
- Jn n 1100 n ~ ·
Réponse : R = 1 ; la série diverge en 1 et en -1.
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