"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
ln 11 en - e- n
en
o) ::Jn shn =en - - -
2
noo 2
,
l
Reponse: -
e
p) Obtenir
n)n 2 + 3n + 2 = nn +
3
n - !!__ + O (~) ,
2
8n noo n
d'où tan (n Jn2 + 3n + 2) ~
8
n .
noo n
Réponse: 1.
1
.!.
q) Obtenir lsin ( nJn3 + 1) l 'ï
11
:0 (
3
: 2 )
3
.
Réponse: l.
r ) •(V n E N, lsin,JÏÏI !( 1) , d'où R ?; 1 .
• (sin,Jiï)n ~O diverge puisque (sin n)n ~O· qui en est extraite,
diverge (cf. Anal yse MPSJ, Exercice 3.1.14).
Réponse: 1.
an+ l _ 2(2n + l) ( n ) n 2(2n + 1)
0
s) - - -
- -
!(
2-----+.
an
(n + 1)2 n + 1
(n + 1) noo
Réponse : oo .
t) Vz E IC* , 1 n
1
2 zn
2
I= exp(-2ln n + n
2
1n lzl)
~ { +~
Réponse: 1.
si lzl < 1
si lzl > 1
u) Montrer: ln((~ (ch~+ cos ~))n
4
) -----+ _!__
2
n
n
noo 24
Réponse: l.
v) D'après Analyse MPSI, 8.2.3 3):
Arccos 1 - - - -
~ h l - 1 - - - -
~ - .
( 1 1) j ( 1 1) .fi
n
n2 1100
n
n2 11 00 ..jïï
Réponse: 1.
Inn
Inn
w)
~ 32 , puis règle de d'Alembert.
Jn3 + n + 1 1100 n /
Réponse: l.
x) an -----+ 0 donc :
noo
.
n./3
l
--/3
3n 2
an ~ sin a,, = - - . - - -
1 - ------.,,.
noo
2n + l 2
2
(2n + 1)2
-
1 -
1 + - + - ~ - -
n--/3 (
j 4 1 ) v'3
- 2(2n + 1)
n
n 2 11 00 2n ·
Réponse: 1
n./3
11
7r
y) Puisque Arctan - - -----+ Arctan· v 3 = - , on a :
n + 1 11 00
3
sh ( ::_ - Arctan _n_ --/3 _
3 ) ~ ( ::_ - Arctan _n_ v'3 _
3 )
3
n + 1 noo 3
n + 1
--/3 - n./3
~ tan(::_ - Arctan _n_--/3_ 3 ) = ___ n ~ +_ l ~
noo
3
n + 1
11
n./3 1100 4n ·
1 +v.) - -
n + 1
Réponse: l.
en
"
en+ 1
z) On a: Vn E N* , 2
!( L:chk !( n -
2
- ,
k= I
d'où :
Vn EN*,
Réponse: 1.
n+~ d x ( 1
1
)
a') • a, ,;; f , -, ~2 R- R
J,,_' 1 X 2
1
l
n-n+ -
2
2
2
(R+R)R
1100
n,JÏÏ.
• De même, pour n ?; 2 :
l
n + ~ dx
an ?;
r::::--î d X
n - ~ v 3x3
noo
Réponse: 1.
b ') En notant
lo
I sin
2 x
dx
an=
0 n2 + sin 2 x
lo
I sin 2 x
n
et b,, =
- 2
-dx = - 2
,
O
n
4n
on a:
lo
I
sin 4 x
lan - bn 1 =
2
dx
O n 2 (n 2 +sin x)
lo
I 1
n
!(
4
dx = 4 , donc
O n
2n
7r
an ~ bn = - 2
.
noo
4n
Réponse: l.
1
+oo d x
1
c ' ) • a,, ;;:;
3 = - 2.
n
X
2n
1
+ 00 dx
1
•Pour n ?; 2, a,, !(
-
1
- = 2·
n
- x3
n
2
Réponse: 1.
d ')
f
.J(n+ l )rr
an =
.
sin (x
2 ) dx =
.jiiii
y=x2
u=y -nrr
1
(n + l)rr sin y
- dy
nJT
2Jy
- -
du
(-1)
11
lorr sin u
2
o .Jnn + u '
0
c
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8
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Réponse: 1.
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q) Obtenir lsin ( nJn3 + 1) l 'ï
11
:0 (
3
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3
.
Réponse: l.
r ) •(V n E N, lsin,JÏÏI !( 1) , d'où R ?; 1 .
• (sin,Jiï)n ~O diverge puisque (sin n)n ~O· qui en est extraite,
diverge (cf. Anal yse MPSJ, Exercice 3.1.14).
Réponse: 1.
an+ l _ 2(2n + l) ( n ) n 2(2n + 1)
0
s) - - -
- -
!(
2-----+.
an
(n + 1)2 n + 1
(n + 1) noo
Réponse : oo .
t) Vz E IC* , 1 n
1
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I= exp(-2ln n + n
2
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Réponse: 1.
si lzl < 1
si lzl > 1
u) Montrer: ln((~ (ch~+ cos ~))n
4
) -----+ _!__
2
n
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noo 24
Réponse: l.
v) D'après Analyse MPSI, 8.2.3 3):
Arccos 1 - - - -
~ h l - 1 - - - -
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( 1 1) j ( 1 1) .fi
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n2 1100
n
n2 11 00 ..jïï
Réponse: 1.
Inn
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w)
~ 32 , puis règle de d'Alembert.
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Réponse: l.
x) an -----+ 0 donc :
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Réponse: 1
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11
7r
y) Puisque Arctan - - -----+ Arctan· v 3 = - , on a :
n + 1 11 00
3
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3 ) ~ ( ::_ - Arctan _n_ v'3 _
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n + 1
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n./3 1100 4n ·
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Réponse: 1.
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1
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1100
n,JÏÏ.
• De même, pour n ?; 2 :
l
n + ~ dx
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noo
Réponse: 1.
b ') En notant
lo
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•Pour n ?; 2, a,, !(
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Réponse: 1.
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