-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
En particulier, pour x = 0 :
1
+00
1+00
_
00
f (t)g(t ) dt = -oo '?ff(-u )'?fg(u) du
= 1_ : '?if (u )'?fg(u ) du.
2) Rempl acer g par f da ns J).
3 ) Soient f 1J2 E t: n l1 telles que '?i fJ E .C
1 , '?ih E .C
1 ,
'15!1 = '?ih . Alo rs ! 1 - h E t' n l1 et '?f(f1 - h) = 0 ;
d'où, d'après c) :
1
+ 00 1
2
1+00 1
2
- OO
(/1 - fz)(l) I dt = - OO iUi - fz)(x) I dx = 0,
et donc, puisque fi - h El,, fJ - h = 0 , fJ = f2 .
ChapitJ&e 6
( 1 2)1 ( 1) ~
a) 1 + - + -
- l + -
"' - - .
n2
n 3
n 2
noo 6n2
Réponse: 1.
n 2 + n n 2
b) - - - "' -
"'
et règle de d'Alembert.
2n + n! noo n! noo (n - 2) !
Réponse : oo .
ln (y'n + l )
c)
-----+ 1.
ln (y'iï - 1) noo
Réponse: 1.
d) ln
"' - -.
(
n2 - 1 )
1
n2+ n +2 noo n
Réponse: 1.
e) V z E C*,
1
ln l 2
noo
Réponse: O.
f) V z E C*, ln l(lnn) nzn l = nln Inn + nln lzl-----+ +oo.
noo
Réponse: O.
g) e ,;;;+! - e.fii = e.fii ( e ,;;;+! -.jïi - 1)
= e.fii e0+1+;;; - 1 "' - - .
(
1
)
e.fii
noo 2y'iï
Pour z E C*:
1 ;~zn1 =exp( v'n - ln (2y'iï) + nln lzl )
~ { +:
Réponse: 1.
si lzl < 1
si lzl > 1
. 1
h) V z E C*,
ln - -
z" = lnnln - - + nln lzl
1
(
n + 2 )In n 1
n + 2
2n + 1
2n + 1
{
-OO
~ +oo
Réponse: 1.
i) VzEC*,
l(lnn) 1 n" z"I = exp(ln n ln In n+ nln lzl)
~ { +:
Réponse: 1.
1
1
j )(n+ l) ;; -n ;;+T
si lzl < 1
si lzl > 1
si lzl < 1
si lzl > 1
= exp(~ ln (n+ l)) - exp(n : lln n)
= exp (ln n + _.!.._ + o ( _. !. . _))
n
n 2
n 2
(
Inn
Inn
(Inn))
- exp - - - + o -
n
n 2
n 2
(
In n
(Inn))
= exp ---;;- + o --;;2
(
(
Inn))
Inn
1 - exp - -
"' -
n 2
noo n 2
puis règle de d'Alembert.
Réponse: l.
k ) Re marquer : V n E N*, ln n :::;; ln (n !) :::;; n ln n.
Réponse: 1.
l) ln
1 + -
~ _ __.!!:_ -----+ 0,
( (
1 )-01) ffei
y'iï
rioo
y'iï rioo
donc
Réponse: 1.
m ) a,,+ 1 = e5h n-sh(n + 1) -----+ O.
an
noo
Réponse : oo.
e .,lïil;1
(
)
-2 ( )-2
n) sh ( vlnfï) ,:, -
2
-
= 4e -
2 .,lïil;I, puis, pour
z E C* :
le2
~znl = exp (-2~ + nln lzl )
~ { +:
Réponse: 1.
si lzl < 1
si lzl > 1
1 701