"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Mais aussi:
On obtient ainsi :
Vt E]O; 17[, Vx E JR,
.
ta
le-w - 11 l~f(x)I ~ r::c '
v2n
c'est-à-dire :
Vt E]Ü; 17[, Vx E JR,
1
.
xt 1
2 sm 2
Soit x E JR* . On a alors, pour tout t de Jo; Min ( 17 , ~:i)]:
l~/(x) I ~ 1 xt 1
.
2 sin - hn
2
Comme a > 1 , on a
ta
1 ta-1
~
-
- - ------* 0
2 lsin x; 1 hn t-->O+ lx l hn t-->O+ '
et donc:
J'f(x) =O.
Enfin, puisque/ E Z 1 etque~f = O,ondéduitde3): f =O.
5)Soit(f,g) E (.C
1
)
2
telque(~/. ~g) E (.C 1 ) 2 .
D'après VI 2) appliqué à~ , et 2):
Ti= c~~nc~~g) = ~c~1 * ~g).
Puis:
~(fg) = ~(fg) = ~(f8) = ~~(~! * ~g) = ~! * ~g.
6) a)• Soit (a ,b) E JR+ x JR. Il est clair que Ya ,b E .C
1 , et, en
1
notant 'Pa : t r-----+ ~, on a, pour tout x de lR (cf. II 2 )) :
t +a
- ibx fi -alxl - ibx-alxl
=a
e
- - e
=e
.
a,/2
•Soient (a,b) , (a',b' ) E JR+ x JR . Comme Ya,b . Ya',b' sont
dans .C 1 et sont bornées, on a, pour tout x de lR :
~(Ya.b * Ya',b')(x) = ~Ya .b(X)~Ya 1 ,b'(X)
= (e- ibxe-alxl)(e- ib'xe- a'lxl)
= e- i(b+b')xe- (a+a')lxl
Ainsi: ~(Ya , b * Ya 1 ,b 1 ) = ~Ya+a', b+b' ·
Comme
Ya,b * Ya',b'
et
Ya+a'.b+b'
sont
dans
Z 1 (car continues et dans .c 1 ), on conclut, par l'injectivité de
-1
~ sur .C : Ya,b * Ya',b' = Ya+a',b+b'·
b) IJ est clair que CT r E L) et est bornée, d'où, pour tout X de
lR : ~(Or* Dr)(x) = (~CTr(x))
2 .
. xT
T
sm -
D'après II 1) : ~CTr(x) = r::c - T 2 , et d'après V 4):
v2n x
2
r2 (sinx;)
2
~Ar(x) = hn x;
,
d'où:
~(Or* Dr)(x) = ~ J'Ar(x) =~(~Ar) (x).
Comme ~(CTr*CTr)=~(~Ar) etque
CT r * CT r et Ar sont dans zt, on déduit, par injectivité de ~
1
1
sur .C : Dr* Dr= r::c Ar.
y27C
c) Soit (a , /3) E (JR+) 2 .
Il est clair que 'Pa et <{if3 sont continues, bornées, et intégrables
sur lR . On a, pour tout x de lR , en utilisant II 4) :
1
'
2
1
-4 .
= - - e - 4;;2 - - e 4 13a,/2
f3,/2
1
1
l
Notons y l'élément de JR+ défini par 2 = 2 + Z '
y
a
f3
c'est-à-dire y =
af3
. On a alors :
J a2+132
1
x2
1
x2
--:---?
y
-:;:-:-r
~('Pa * 2af3
af3,/2 y J2
l
= ,j2J 2 2 J' 2 a + f3
On en déduit, par l'injectivité de;}' sur l
1 :
1
'Pa *

v2ya + f3 )a2+f3 2
VIII 1) Remarquer d'abord que 7, g , 7 g sont dans .C 1 , et
que g est continue par morceaux et bornée.
D'après VII 5): J'(/g) = J'f * ;}'g,
c'est-à-dire: Vx E IR,
1 f +oo - . 1 f +oo -
= f (t )g(t )e1
x
1 dt= = 'Jf(x - u)'Jg (u ) du.
'\/ 2n: -OO
'\/ 2n: -OO