"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Remarque:
• Si f est paire, alors, pour tout x de IR :
1 1+00 ..
'Jf(x) = ;;c
f(t)e-u
1 dt
v2rr -oo
1 10 . . 1 lo+oo .
= - -
f(t)e - IXldt + - -
j(t)e- IXldt
.j2n -OO
.j2n Ü
1 i +oo
.
l !o+oo
.
= - - .
f(-u)e•xudu+-f(t)e- •x
1 dt
u=- t .j'in O
.J2n O
2 lo+oo
= ;;c
f(t) cosxt dt,
v2rr o
appelée tran sformée de Fourier en cosinus.
• Si f est impaire, alors, pour tout x de IR :
'J f (x)
= _ l _ r +oo f(-u)é"du + - 1 - r +oo f(t)e- ixtdt
. .ffii lo
.J2n lo
= _ I _ { +oo f(t)(e- ix1 - eixr)dt
.J2n lo
2i lo +oo
.
= - ;;c
f (t) smxt dt,
v 2rr o
etx t----+ ~ r +oo f (t) sin xt dt est appelée la transformée
v 2rr lo
de Fourier en sinus.
2) Soient f E .C 1 , a E IR. Il est clair que raf E L 1 , et on a,
pour tout x de IR :
1 1+00
.
J(raf)(x) = ;;c
(raf)(t)e-•x
1
dt
v2rr -oo
= _ 1_ 1 +00 f (t - a)e-ixt dt
.j2n -OO
1 1+00
. .
.
=
- -
f(u)e-•xa-1xudu = e-ixa'Jf(x).
u=t -a .j'in _ 00
Remarques:
1) D'après le résultat précédent:
2) Signal modulé en amplitude
Soient! E L 1 , a E IR; notons
g : t 1----+ ~ (f(t +a)+ f (t - a)) ,
1
autrement dit g = 2 ( r-a J + ra f).
Alors g E ,C 1 et, par linéarité et résultat précédent :
Vx E IR,
Jg(x) = ~ ( eixa'J f (x) + e- ixa'J f (x))
= cosax 'Jf(x).
y
g
3) Il est clair que g E ,C 1 , et on a, pour tout x de IR :
Jg(x) = - -
e•/..t f(t)e - wdt
1 1+00 .
. .
.j2n -OO
= _ 1_ 1 +00 f(t)e-i (x-/..)tdt
.j2n -OO
= 'Jf(x - À)= r/..(Jf)(x).
Remarque:
On déduit du résultat précédent :
X
1
COSÀt f(t)->. ~ (rÀF + T-/,,F) (x)
f (t) _,,,, F(x)=='} .
~
SlilÀt f(t)->. 2i (rÀF - L/,,F) (x).
4) Il est clair que h E .C 1 , et on a, pour tout x de IR :
1 1+00
..
Jh(x) = ;;c
f(kt)e- utdt.
v2rr -oo
Si k > 0 :
l
l +oo
·x
1
(X)
Jh(x) =
;;c
f(u)e1
I
11 du = - 'Jf -
u=kt kv 2n -oo
k
k
Si k < 0:
1 1 -oo
_ j X 11
1
(X)
Jh(x) = ;;c
f(u)e I du= - - 'Jf - .
u=kt kv 2rr +oo
k
k
Finalement: Jh(x) = l~I 'Jf(~).
IV
1) Soit f E .C 1 . D'après le théorème de RiemannLebesgue sur un intervalle quelconque (exercice 5.2.2 p. 307),
on a l +oo f(t)ei xtdt----+ 0,
-oo
x-->±oo
donc 'Jf(x)----+ O.
x-->±oo
1 697
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
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>0.
0
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Remarque:
• Si f est paire, alors, pour tout x de IR :
1 1+00 ..
'Jf(x) = ;;c
f(t)e-u
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v2rr -oo
1 10 . . 1 lo+oo .
= - -
f(t)e - IXldt + - -
j(t)e- IXldt
.j2n -OO
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1 i +oo
.
l !o+oo
.
= - - .
f(-u)e•xudu+-f(t)e- •x
1 dt
u=- t .j'in O
.J2n O
2 lo+oo
= ;;c
f(t) cosxt dt,
v2rr o
appelée tran sformée de Fourier en cosinus.
• Si f est impaire, alors, pour tout x de IR :
'J f (x)
= _ l _ r +oo f(-u)é"du + - 1 - r +oo f(t)e- ixtdt
. .ffii lo
.J2n lo
= _ I _ { +oo f(t)(e- ix1 - eixr)dt
.J2n lo
2i lo +oo
.
= - ;;c
f (t) smxt dt,
v 2rr o
etx t----+ ~ r +oo f (t) sin xt dt est appelée la transformée
v 2rr lo
de Fourier en sinus.
2) Soient f E .C 1 , a E IR. Il est clair que raf E L 1 , et on a,
pour tout x de IR :
1 1+00
.
J(raf)(x) = ;;c
(raf)(t)e-•x
1
dt
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= _ 1_ 1 +00 f (t - a)e-ixt dt
.j2n -OO
1 1+00
. .
.
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- -
f(u)e-•xa-1xudu = e-ixa'Jf(x).
u=t -a .j'in _ 00
Remarques:
1) D'après le résultat précédent:
2) Signal modulé en amplitude
Soient! E L 1 , a E IR; notons
g : t 1----+ ~ (f(t +a)+ f (t - a)) ,
1
autrement dit g = 2 ( r-a J + ra f).
Alors g E ,C 1 et, par linéarité et résultat précédent :
Vx E IR,
Jg(x) = ~ ( eixa'J f (x) + e- ixa'J f (x))
= cosax 'Jf(x).
y
g
3) Il est clair que g E ,C 1 , et on a, pour tout x de IR :
Jg(x) = - -
e•/..t f(t)e - wdt
1 1+00 .
. .
.j2n -OO
= _ 1_ 1 +00 f(t)e-i (x-/..)tdt
.j2n -OO
= 'Jf(x - À)= r/..(Jf)(x).
Remarque:
On déduit du résultat précédent :
X
1
COSÀt f(t)->. ~ (rÀF + T-/,,F) (x)
f (t) _,,,, F(x)=='} .
~
SlilÀt f(t)->. 2i (rÀF - L/,,F) (x).
4) Il est clair que h E .C 1 , et on a, pour tout x de IR :
1 1+00
..
Jh(x) = ;;c
f(kt)e- utdt.
v2rr -oo
Si k > 0 :
l
l +oo
·x
1
(X)
Jh(x) =
;;c
f(u)e1
I
11 du = - 'Jf -
u=kt kv 2n -oo
k
k
Si k < 0:
1 1 -oo
_ j X 11
1
(X)
Jh(x) = ;;c
f(u)e I du= - - 'Jf - .
u=kt kv 2rr +oo
k
k
Finalement: Jh(x) = l~I 'Jf(~).
IV
1) Soit f E .C 1 . D'après le théorème de RiemannLebesgue sur un intervalle quelconque (exercice 5.2.2 p. 307),
on a l +oo f(t)ei xtdt----+ 0,
-oo
x-->±oo
donc 'Jf(x)----+ O.
x-->±oo
1 697