-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
·c
>0.
0
u
2) La fonction porte n T (cf. Il 1) est dans .C 1 , mais sa transi
sinu
formée de Fourier '{j CT T n'est pas dans .C , puisque u r--+ - -
u
n'est pas intégrable sur (1; +oo[ (cf. 3.2.3 Rem. p. 174).
Réponse : non.
V 1) a) Notons lR x lR -----+ IC
(x,t) r--+ f(t)e -i xr
• Pour tout x E lR,
• -
: (x,t) r--+ - i tf(t)e - 'xr estdéfiniesurlR x JR, contiax
nue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par
rapport à t , et vérifie HD car :
V(x,t)ElRxlR, l~~ (x,t)l =tlf(t)I
et t r--+ t 1f(t) 1 est intégrable sur lR.
f
+oo
D'après le théorème de dérivation sous le signe -oo , l' application J f est de classe C
1 sur lR et :
\;/XE JR,
1 /+oo
.
(Jf)'(x) = r;c
-i tf(t)e - ixt dt= -i Jf1 (x).
'\/ 2Jr - OO
b) Récurrence immédiate sur k.
c) Soitf : lR -----+ IC continue par morceaux et nulle en dehors
d'un segment. Alors, il en est de même, pour tout k de N, de
t r--+ tk f (t), et donc (!k : t r--+ rk f (t)) E .C 1 . D'après b ),
J f est de classe C
00 sur lR.
De façon imagée, plus f est « aplatie » en ±oo, plus la transformée de Fourier de f est régulière.
2) a) a) On a, puisque f' est intégrable sur lR :
f(t)=f(O)+ t J'(u)du - 7 f(O)+ r
00
J'(u)du .
lo
r--++oo
lo
Ceci montre que f admet une limite finie l en +oo ; si l =fa 0,
alors f n'est pas intégrable sur lR, contradiction.
Donc: f (x) -----+ O.
x-+ +oo
Raisonnement analogue en -oo (ou appliquer ce qui précède
V
àf).
f3) On a, pour tout (X, Y) de JR 2 , à l'aide d'une intégration par
parties:
(
. [ . ]y {y
.
lx f'(t)e-1xrdt = f(t)e-1xr X+ ix lx f(t)e - 1xrdt.
Puisque f et f' sont intégrables sur lR, on en déduit, en faisant
tendre X vers -OO et Y vers +oo, et en utilisant a) :
1 / +oo
.
'{S(f
1 )(x) = r;c
f
1 (t)e- •x
1 dt
v2Jr -OO
ix ! +oo
.
= r;c
f(t)e-•x
1 dt = ix'{Sf(x).
v2Jr - OO
b) Récurrence immédiate.
c) Soient n E N ,f : lR -----+ IC de classe en- 1 sur lR, de classe
en par morceaux sur lR, et telle que :
\fk E {0,. .. ,n}, f(k) E _cl.
1
D'après b) : \fx E JR*, '{j f (x) = - .J(JM)(x).
(1x)n
Comme, d'après IV 1) : '{S(f(n))(x) -----+ 0,
x -+ ±oo
on déduit: 'rif(x) =
o
(2-).
x-+±oo xn
3) L 'application f: lR-----+ 1C est de classe C 1 sur JR, et f et
/ 1---+e_"212
J': t r--+ -2a 2 te-a
212 sont intégrables sur JR .
Comme: \:/t E JR, f' (t) = -2a 2 tf (t), on déduit, en prenant
les TF, en utili sant 1) a) et 2) a), et en notant F = J f :
\fx E JR, ix F(x) = -2a
2 iF'(x) .
Par résolution de l'équation différentielle obtenue :
x2
Vx E JR, F(x) = F(O) e - 4a
2
1 / +oo 2 2
F(O) = r;c
e - a
1 dt
v2Jr - OO
Enfin:
1 / +oo 2
1
u~at a~ -oo e-u du= a,,/2·
1
x2
On conclut: \fx E JR, 'rif(x) = --e- ~
a,,/2
4) L'application AT est continue sur lR, de classe C 1 par morceaux sur JR, intégrable sur lR , et à support borné. De plus, pour
tout t de lR :
A~ = 1 ~ -1
0
si t < -T
si -T < t < 0
si 0 < t < T
si T < t.
-T
y
T
0
T
On a donc, pour tout t de lR - {-T,O, T) :
A~(t) = nT (r + ~)- nT (r - ~)
= r_ r CTT(t) - r r CTT(t) ,
2
2
-T
0
T
-1 :i--------.:
0
c
::J
0
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2) La fonction porte n T (cf. Il 1) est dans .C 1 , mais sa transi
sinu
formée de Fourier '{j CT T n'est pas dans .C , puisque u r--+ - -
u
n'est pas intégrable sur (1; +oo[ (cf. 3.2.3 Rem. p. 174).
Réponse : non.
V 1) a) Notons lR x lR -----+ IC
(x,t) r--+ f(t)e -i xr
• Pour tout x E lR,
• -
: (x,t) r--+ - i tf(t)e - 'xr estdéfiniesurlR x JR, contiax
nue par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par
rapport à t , et vérifie HD car :
V(x,t)ElRxlR, l~~ (x,t)l =tlf(t)I
et t r--+ t 1f(t) 1 est intégrable sur lR.
f
+oo
D'après le théorème de dérivation sous le signe -oo , l' application J f est de classe C
1 sur lR et :
\;/XE JR,
1 /+oo
.
(Jf)'(x) = r;c
-i tf(t)e - ixt dt= -i Jf1 (x).
'\/ 2Jr - OO
b) Récurrence immédiate sur k.
c) Soitf : lR -----+ IC continue par morceaux et nulle en dehors
d'un segment. Alors, il en est de même, pour tout k de N, de
t r--+ tk f (t), et donc (!k : t r--+ rk f (t)) E .C 1 . D'après b ),
J f est de classe C
00 sur lR.
De façon imagée, plus f est « aplatie » en ±oo, plus la transformée de Fourier de f est régulière.
2) a) a) On a, puisque f' est intégrable sur lR :
f(t)=f(O)+ t J'(u)du - 7 f(O)+ r
00
J'(u)du .
lo
r--++oo
lo
Ceci montre que f admet une limite finie l en +oo ; si l =fa 0,
alors f n'est pas intégrable sur lR, contradiction.
Donc: f (x) -----+ O.
x-+ +oo
Raisonnement analogue en -oo (ou appliquer ce qui précède
V
àf).
f3) On a, pour tout (X, Y) de JR 2 , à l'aide d'une intégration par
parties:
(
. [ . ]y {y
.
lx f'(t)e-1xrdt = f(t)e-1xr X+ ix lx f(t)e - 1xrdt.
Puisque f et f' sont intégrables sur lR, on en déduit, en faisant
tendre X vers -OO et Y vers +oo, et en utilisant a) :
1 / +oo
.
'{S(f
1 )(x) = r;c
f
1 (t)e- •x
1 dt
v2Jr -OO
ix ! +oo
.
= r;c
f(t)e-•x
1 dt = ix'{Sf(x).
v2Jr - OO
b) Récurrence immédiate.
c) Soient n E N ,f : lR -----+ IC de classe en- 1 sur lR, de classe
en par morceaux sur lR, et telle que :
\fk E {0,. .. ,n}, f(k) E _cl.
1
D'après b) : \fx E JR*, '{j f (x) = - .J(JM)(x).
(1x)n
Comme, d'après IV 1) : '{S(f(n))(x) -----+ 0,
x -+ ±oo
on déduit: 'rif(x) =
o
(2-).
x-+±oo xn
3) L 'application f: lR-----+ 1C est de classe C 1 sur JR, et f et
/ 1---+e_"212
J': t r--+ -2a 2 te-a
212 sont intégrables sur JR .
Comme: \:/t E JR, f' (t) = -2a 2 tf (t), on déduit, en prenant
les TF, en utili sant 1) a) et 2) a), et en notant F = J f :
\fx E JR, ix F(x) = -2a
2 iF'(x) .
Par résolution de l'équation différentielle obtenue :
x2
Vx E JR, F(x) = F(O) e - 4a
2
1 / +oo 2 2
F(O) = r;c
e - a
1 dt
v2Jr - OO
Enfin:
1 / +oo 2
1
u~at a~ -oo e-u du= a,,/2·
1
x2
On conclut: \fx E JR, 'rif(x) = --e- ~
a,,/2
4) L'application AT est continue sur lR, de classe C 1 par morceaux sur JR, intégrable sur lR , et à support borné. De plus, pour
tout t de lR :
A~ = 1 ~ -1
0
si t < -T
si -T < t < 0
si 0 < t < T
si T < t.
-T
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T
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T
On a donc, pour tout t de lR - {-T,O, T) :
A~(t) = nT (r + ~)- nT (r - ~)
= r_ r CTT(t) - r r CTT(t) ,
2
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