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T 0
T
2
2
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T
ili
T
1
2) Il est clair que f : t t----+ - 2
- -
2
est élément de L
1 .
a + t
On a, pour tout x de IR, par parité:
l f +oo e- ixt
Jf(x) = r-c
~dt
v2n -oo a + t
2
r +
00 cosxt
= v12n Jo a2 + r2 dt
= _ 2 _
r +oo cosaxu du= ft e-alxl,
u=~ av12IT Jo 1 + u 2
a./i
cf. exercice 3.5 .18 p. 204.
y
1
a2
0
I a-+ î
0
:F f'(x) = "]fr e-al\
·
av2
3) Il est clair que f : t t----+ e- a lt I est élément de L 1 .
On a, pour tout x de IR :
X
= _ 1_ fo e v12n -OO
v12n Jo
= _l_ [e v12n a - IX - OO v12n -a - IX 0
y
0
y
f2
avn
0
-r- .
2a
.r f (x) = - 0 0
V 27f (lr + .C)
X
4) Il est clair que f : t t----+ e- a
212 est élément de L 1 .
On a, pour tout x de IR :
1 f+ oo
2 2
·
J;f(x) = - -
e - a t e-ixrdt
v12n -OO
= - -
e- " e- •a
11 du
1 !+oc 2 ·x
ll=at av12IT - OO
2
1 t(!g:) 1 _.ç.,,
= - - e
= - - e 4aa./i
a./i
cf. exercice 3.5.10 p. 204.
y
y
1
af2
Ü
,2
X
1
- .i,,2
0
:Ff(x)= - - e
a./2
III 1) a) a) Soit f E L 1 . Il est clair que 7 : t t----+ f(t) et
V
f : t t----+ f ( -t) sont dans L 1 , et, pour tout x de IR :
•?ff(x) = _ 1_ f +oo f(t)e- ixtdt
v12n -OO
= - -
f(t)eixt dt= Jf(-x) = Jf(x)
1 !+oc
- V
v12n -OO
V
l f +oo
.
• J f(x) = - -
f(-t)e - •xt dt
v12n - OO
] f +oo
.
V
=
r-c
f(u)e'xudu = Jf(-x) = Jf(x).
11 = - 1 v2n -oc
V
V
V
V
/3) • Jf=Jf=Jf et Jf =Jf
V
V
V
•?f f=Jf
V
V
V
V
• Jf=Jf=Jf.
V
b) • Si f est réelle et paire, alors 7 = f donc
V
V
V
V
J f = J 7 = J f, et f = f donc J f = J f = J f.
On conclut que J f est réelle et paire.
V
•Si f est réelle et impaire, alors f = - f donc
V
V
J f = J 7 = -J f, et f = - f donc
V
V
Jf = -J f = -J.f.
On conclut que f est imaginaire pure et impaire.