"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
4
D'autre part (cf. I 2)): 4e 21 ::i - - . On a donc
p-2
(p 2 - 3p + 2)F(p) + 3p - 14 = -
4
-,
p-2
d'où, après calculs élémentaires et décomposition en éléments
simples:
-3p 2 + 20p - 24
F(p) = (p - l)(p - 2)2
7
4
4
= - - - +
+ - - .
p - 1
(p - 2)2
p - 2
1
1
1
D'après/ 2): - - c e 1 , - - c e 21 ,
c t e 21
p - 1
p - 2
(p - 2)2
'
d'où F(p) c -7e 1 +4e 21 +4t e 21 .
Par injectivité de la transfom1ation de Laplace (I 6)), on obtient : y(t) = - 7e 1 + 4e 21 + 4t e 21 .
Réciproquement, il est clair que l'application
y : [O; +oo[---+ lR
est élément de F et le calcul prétr--+ - 7e 1 +4 e2 1 +4t e2'
cédent, par injectivité de la transformation de Laplace, montre
que y est solution du problème proposé.
Réponse:
Vt E [O; +oo[, y(t) = - 7 e 1 + 4 e 21 + 4t e2 1 .
2) Même démarche que pour 1).
Notons x(t) ::i F(p), y(t) ::i G(p). Alors:
1
x'(t) ::i pF(p) - x(O) = pF(p)
y'(t) ::i pG(p) - y(O) = pG(p)
y"(t) ::i p 2 G(p ) - (py(O) + y'(O)) = p 2 G(p).
l
l
D'autre part: e- 1 ::i - - et 1 ::i - .
p+l
p
l
pF(p) + 2p 2 G(p) = -
1
-
p + l
On a donc
pF(p) + 2F(p) - G(p) = ~·
Un calcul élémentaire fournit :
2p 2 +2p+1
F(p) = p(p + 1)(2p2 + 4p + 1)
1
1
l
1
= - + - - - - - - - - ,
p
p+l
p-a
p-{J
-2 - .j2
-2 + .j2
où a =
2
, fJ =
2
.
On revient ensuite à x: x(t) = l + e- 1 - eat - e/3 1 .
Puis y(t) = x ' (t) + 2x(t) - 1.
Réponse: Vt E [0; +oo[ ,
1
x(t) = l + e1 - eat - ef3
1
y(t) = l + e - 1 + fJ ea1 +a ef3t ,
2+./2
2-./2
a= - - 2 -, fJ = - - 2 - .
I l)SoientfEL'. 1 ,xE lR.
II est clair que t r----+ f (t)e - ixt est continue par morceaux sur
lR . De plus, comme :
Vt E lR, IJ(t)e - ixt l = lf(t)I ,
t r----+ f(t)e- ixt est intégrable sur JR .
2) a) L'application :
lR x lR ----+ C
est continue par
(x ,t) r----+ f(t)e - ixt
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport
à t, et vérifie HD car:
V(x,t) E lR x JR, l(x ,t)I = lf(t) I,
et f est intégrable sur JR.
r oo
D'après le théorème de continuité sous le signe Loo , l'application 'J f est continue sur R
b) l'Jf(x) I = ~ 1 1-:
00
f(t)e-ixtdt l
~ ~ f +oo lf(t)e- ixt ldt = ~ f+oo lf(t)I dt ,
V 2rr - OO
V 2rr - OO
puisque f est intégrable sur lR .
c) Soient À E C, f,g E L: 1 • Alors 'J...f + g E L: 1 et, pour tout x
de lR :
1 l +oo
..
'J('J...f + g)(x) = r;c
(Àf + g)(t)e-urdt
v2rr -oo
= _À_ l +oo f (t)e- ixr dt+ _1_ 1+00 g(t)e- ixt dt
.Jin - OO
.Jin - OO
= À'Jf(x) + 'Jg(x) ,
donc 'J('J...f + g) = ' J...' J f + 'Jg , 'J est linéaire.
II 1) À l'évidence, n r E L: 1 , et on a, pour tout x de lR :
1 l +oo
.
'JCTr(x) = r;c
CTr(t)e1
x 1 dt
v2rr -oo
T
1 { 2 -ixr
= r;c ] _ e dt.
v2rr - f
Six# 0:
'JCTr(x) = _ 1_ [e- ' .xr]f = - - ~ sinxT
.Jin -IX T .Jin X
2
- 2
. xT
T sm -
..
2
- - - - -
5
xT
2
1 i f T
Six= 0: 'JCTr(x) = r;c
dt= r;c·
v2rr - f
v2rr
1 695
0
c
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0
(V)
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D'autre part (cf. I 2)): 4e 21 ::i - - . On a donc
p-2
(p 2 - 3p + 2)F(p) + 3p - 14 = -
4
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d'où, après calculs élémentaires et décomposition en éléments
simples:
-3p 2 + 20p - 24
F(p) = (p - l)(p - 2)2
7
4
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= - - - +
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p - 1
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p - 2
1
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D'après/ 2): - - c e 1 , - - c e 21 ,
c t e 21
p - 1
p - 2
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'
d'où F(p) c -7e 1 +4e 21 +4t e 21 .
Par injectivité de la transfom1ation de Laplace (I 6)), on obtient : y(t) = - 7e 1 + 4e 21 + 4t e 21 .
Réciproquement, il est clair que l'application
y : [O; +oo[---+ lR
est élément de F et le calcul prétr--+ - 7e 1 +4 e2 1 +4t e2'
cédent, par injectivité de la transformation de Laplace, montre
que y est solution du problème proposé.
Réponse:
Vt E [O; +oo[, y(t) = - 7 e 1 + 4 e 21 + 4t e2 1 .
2) Même démarche que pour 1).
Notons x(t) ::i F(p), y(t) ::i G(p). Alors:
1
x'(t) ::i pF(p) - x(O) = pF(p)
y'(t) ::i pG(p) - y(O) = pG(p)
y"(t) ::i p 2 G(p ) - (py(O) + y'(O)) = p 2 G(p).
l
l
D'autre part: e- 1 ::i - - et 1 ::i - .
p+l
p
l
pF(p) + 2p 2 G(p) = -
1
-
p + l
On a donc
pF(p) + 2F(p) - G(p) = ~·
Un calcul élémentaire fournit :
2p 2 +2p+1
F(p) = p(p + 1)(2p2 + 4p + 1)
1
1
l
1
= - + - - - - - - - - ,
p
p+l
p-a
p-{J
-2 - .j2
-2 + .j2
où a =
2
, fJ =
2
.
On revient ensuite à x: x(t) = l + e- 1 - eat - e/3 1 .
Puis y(t) = x ' (t) + 2x(t) - 1.
Réponse: Vt E [0; +oo[ ,
1
x(t) = l + e1 - eat - ef3
1
y(t) = l + e - 1 + fJ ea1 +a ef3t ,
2+./2
2-./2
a= - - 2 -, fJ = - - 2 - .
I l)SoientfEL'. 1 ,xE lR.
II est clair que t r----+ f (t)e - ixt est continue par morceaux sur
lR . De plus, comme :
Vt E lR, IJ(t)e - ixt l = lf(t)I ,
t r----+ f(t)e- ixt est intégrable sur JR .
2) a) L'application
lR x lR ----+ C
est continue par
(x ,t) r----+ f(t)e - ixt
rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport
à t, et vérifie HD car:
V(x,t) E lR x JR, l
et f est intégrable sur JR.
r oo
D'après le théorème de continuité sous le signe Loo , l'application 'J f est continue sur R
b) l'Jf(x) I = ~ 1 1-:
00
f(t)e-ixtdt l
~ ~ f +oo lf(t)e- ixt ldt = ~ f+oo lf(t)I dt ,
V 2rr - OO
V 2rr - OO
puisque f est intégrable sur lR .
c) Soient À E C, f,g E L: 1 • Alors 'J...f + g E L: 1 et, pour tout x
de lR :
1 l +oo
..
'J('J...f + g)(x) = r;c
(Àf + g)(t)e-urdt
v2rr -oo
= _À_ l +oo f (t)e- ixr dt+ _1_ 1+00 g(t)e- ixt dt
.Jin - OO
.Jin - OO
= À'Jf(x) + 'Jg(x) ,
donc 'J('J...f + g) = ' J...' J f + 'Jg , 'J est linéaire.
II 1) À l'évidence, n r E L: 1 , et on a, pour tout x de lR :
1 l +oo
.
'JCTr(x) = r;c
CTr(t)e1
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v2rr -oo
T
1 { 2 -ixr
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Six# 0:
'JCTr(x) = _ 1_ [e- ' .xr]f = - - ~ sinxT
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