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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
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.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Pour to ut p de IC tel que Ré( p ) > Ré(a) , une intégration par
parties, ici licite, fournit :
.Cf (p) = lo+oo e (a- p)t t" dt
[
e(a- p)r
] +oo
!o+oo eCa- p)t
=
- - t"
-
- - ntn- I dt
a- p
0
0
a- p
!o
+oo
= _n_
e p - a 0
sin ;?: l.
Une récurrence immédiate donne alors :
.Cf(p) =
e (a - p)t dt =
.
n !
!o+oo
n !
( p - a )" o
( p -a)n+ I
Réponse :
1
V I = {p E IC; Ré(p) > Ré(a) }, Of = Ré (a)
n!
Vp E V 1, .Cf(p) =
1
.
(p - a)" +
3) Noton s ic i 11 = {x E IR; {x } x IR c V 1 ) ; on a donc
11 = ]a1; + oo[ ou [a1; +oo[, et V 1 = 11 x IR .
L' application F: (x,y; t ) 1--+ e - (1 1 x IR) x [0 ; +oo[, continue par rapport à (x,y ) , continue
par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HDL car,
pour tout a E ]a 1 ; + oo[ :
V(x,y,t ) E ([a ; + oo[ x IR) x [O; + oo[,
IF (x ,y; t) I = e -xtl f(t) I (; e - atl f( t) I
et t 1--+ e - at 1f(t) 1 est intégrable sur [0 ; + oo[.
D'après le théorème d e continuité sous le signe f a vec hypothèse de domination locale (cf. 3.5.1 Prop. p. 191), on conclut
que .Cf est continue sur V I
4 ) a) Soi t p E IC te l q u e Ré(p) > Max(a1, a 8 ) . A l o r s
t 1--+ e - pt f(t ) et t 1--+ e- pt g(t ) so n t intég rab l es s u r
[O; + oo[ , do nc t 1--+ e-pt () .. f + g)(t ) est intég rable s ur
[O; + oo[ et :
r +oo
lo e- pi () . . f + g)(t) dt
r +oo
r +oo
=À Jo e- pr f (t ) dt+ Jo e- pt g(t) dt ,
d'où les résultats demandés.
b) Soit p E IC ;pour quet 1--+ e- P' e"' f(t) soit intégrable sur
[O; +oo[ , il faut et il suffit que : p - a E V 1, et on en déduit
les résultats demandés.
5) a) Soit p E V 1. On obtien t, par une intégrat ion par
parties:
VT E [0; +oo[, lo T e- pt f
1 (t) d t
= e - pT f(T) - f(O) + p loT e- pt f(t) dt.
Par hypothèse , e - pT f (T) -------+ 0,
T-> +oo
et t 1--+ e-pt f '(t) et t 1--+ e -pr f(t ) sont intégrables sur
[O; + oo[, donc p E V I ' et
r+oo
.C f' (p) = lo e- pt f' (t) dt = - f(O) + p.Cf(p).
b) Récurrence sur n , en utilisant a).
6) a) a ) Justifier l'intégration par parties :
r +oo
.Cf (p +a)= Jo e- (p+a)t f(t) dt
r +oo
= Jo e - ar g' (t ) dt
[
]
+oo
r +oo
= e - ar g (t) 0 +a Jo e- ar g (t) dt
=a lo+oo e - at g (t ) dt .
{3) Soit n EN. Puisque (Vp E V 1,.Cf(p) = 0), on a en particul ier, pour p E V 1 et a E IR~ fixés :
.C f (p + (n + l )a) =O.
E n remplaçant a par (n + l)a dans a ) , on obtient:
r +oo
.C f (p + (n + l )a) = (n + l)a Jo e- (n+ I)at g(t) dt
l o
i
(
ln u)
= (n + 1) u"g - -
u=e-"'
o
a
du.
y ) L'applicatio n h : [O; l ] ----+ IC défi nie par
l
g ( - l:u)
si u E]O; l]
h(u ) =
+oo
Io e - pv f (v) dv si u = O
est continue sur [0; l ] et, d'après {3) :
Vn E N, fo l u" h(u) du = O.
D 'après 5.2.2 Cor. p. 308, conséquence du i er théorème de
Weierstrass, il s'ensuit h = 0, pui s g = O.
b) Puisque g = Oet que (Vt E [O; +oo[,g'(t) = e- pt f(t) ) , on
conclut f = O.
Comme la transfo rmatio n de Laplace e s t « linéaire »
(cf. 4)a)), le résultat précédent montre qu'elle est « injective »
II 1) S upposons que le problème proposé admette une so lution y et que y E :F ; notons F la transformée de Laplace de
y : y (t ) :i F(p).
D'après I 5) :
y'(t) :i pF(p) - y (O) = pF(p) + 3 et
y"(t ) :i p 2 F(p)- (py (O) + y'(O)) = p 2 F(p) + 3 p - 5.
On a donc (par linéarité de la transfo rmation de Laplace,
cf. I 4 ) a)) :
y" (t) - 3/(t) + 2y (t) :i (p
2 - 3 p + 2) F(p)+3 p - 14.