"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
y
X
,'
• L
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on en déduit que lest de
classe C 1 sur IR et :
Vx E IR,
+oo l
l'(x) = "\"""" -
~ n'
n=O .
p
b) Soit x E Q ; il existe (p ,q) E Z x N* tel que x = -.
q
Remarquer d'abord :
• Vn EN , (
• Vn EN, (
{
rp(n!x)=O)
n ~ q ===:} n !x E Z ===:}
.
rp'(n!x) = 1
On déduit:
q- 1 1
1) l(x) = L - 2
q- 1 l
+oo 1
2) l'(x) = L -
n=q n!
= (~ ~
n=On.
puisque e E IR - Q (cf. Analyse MPSI, 3.2.2 Exemple 1 )) et
q-I ( l
1)
L 1
n.
n.
n=
Soient x E]l; +oo[, À E [-1 ; l] fixés.
x-1 -t
+oo
t
e
_ L x-1 -t(À -t)n
On a : Vt E]O; +oo[, - - - -
t
e
e
.
1 - Àe- 1
n=O
Notons, pour n E N.fn : ]O; +oo[----+ IR .
H--+Àn 1 x - I e-(n+ l)t
Alors:
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux et intégrable
sur ]O; +oo[
• L ln converge simplement et a pour somme
n:;;,O
tx-le-1
s : t 1----+ - - -
1 - Àe- 1
• S est continue par morceaux sur ]O; +oo[
r +oo
• L }(] 1 ln (t) ldt converge, car, pour tout n de N :
n:;;,O 0
fo+oo lln(t)ldt = IÀ l 11 fo +oo tx - le-
=
u
e
u
11=(11+ 1)1 (n + l)X O
et
IÀ1 11 r(x)
f(x)
=
~ --(n + l)X (n + l)X
L
f(x)
(n + l)X
n:;;,O
converge puisque x > 1.
D'après 5.3.6 Th. p. 341, on déduit que S est intégrable sur
]O; +oo[ (ce qu'on pouvait voir directement) et :
lo
+oo
+oo lo+oo
+oo Àllf(x)
S(t)dt = L ln (t)dt = L
)X·
0
n=O 0
n=O (n + 1
Notons, pour n ~ 2, ln : [2; +oo[----+ IR. Alors :
Xf--+j_
nx
•pour tout n ~ 2, ln est continue par morceaux et intégrable
sur [2; +oo[
• L ln converge simplement sur [2; +oo[ et a pour somme
n:;;,2
S : [2; +oo[----+ IR
Xf-+Ç(x)-1
• S est continue par morceaux sur [2; +oo[, puisque Ç est continue sur ]1; +oo[
r +oo
• L }
2
1 ln (x) ldx converge car, pour tout n ~ 2 :
n:;;,2 2
h
+oo
h+oo 1
lln(x)ldx =
- dx
2
2
nX
= [ e- xlnn l +oo
-Inn 2
1
et L - 2
- - converge.
n:;;, 2 n Inn
1
n2Jnn'
D'après 5.3.6 Th. p. 341, S est intégrable sur [2; +oo[, et:
h
+oo (
)
+oo h+oo
+oo
1
Ç(x) - 1 dx=L
ln(x)dx=l:- 2
- .
2
n= 2 2
11 = 2 n ln n
I 1) Soient PO E Dt, PO= xo + iyo, (xo.Yo) E IR 2 ' p E IC,
p = x + iy, (x,y) E IR 2 , tel quex ~ xo.
On a : Vt E [0; +oo[ ,
le-P
1 l(t)I = e- xrll(t)I ~ e-xotll(t)I =le-Pot l(t)I.
Comme PO E Dt, t r---+ eP0
1 l(t) est intégrable sur
[O; +oo[, donc t r---+ e-pt l (t) est intégrable sur
[0; +oo[, et ainsi p E Dt.
2) L'application t i----+ e-pt tnea
1 est intégrable sur [0; +oo[ si
et seulement si Ré(p - a) > 0, c'est-à-dire Ré(p) > Ré(a).
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D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on en déduit que lest de
classe C 1 sur IR et :
Vx E IR,
+oo l
l'(x) = "\"""" -
~ n'
n=O .
p
b) Soit x E Q ; il existe (p ,q) E Z x N* tel que x = -.
q
Remarquer d'abord :
• Vn EN , (
• Vn EN, (
{
rp(n!x)=O)
n ~ q ===:} n !x E Z ===:}
.
rp'(n!x) = 1
On déduit:
q- 1 1
1) l(x) = L - 2
q- 1 l
+oo 1
2) l'(x) = L -
n=q n!
= (~ ~
n=On.
puisque e E IR - Q (cf. Analyse MPSI, 3.2.2 Exemple 1 )) et
q-I ( l
1)
L 1
n.
n.
n=
Soient x E]l; +oo[, À E [-1 ; l] fixés.
x-1 -t
+oo
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On a : Vt E]O; +oo[, - - - -
t
e
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.
1 - Àe- 1
n=O
Notons, pour n E N.fn : ]O; +oo[----+ IR .
H--+Àn 1 x - I e-(n+ l)t
Alors:
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux et intégrable
sur ]O; +oo[
• L ln converge simplement et a pour somme
n:;;,O
tx-le-1
s : t 1----+ - - -
1 - Àe- 1
• S est continue par morceaux sur ]O; +oo[
r +oo
• L }(] 1 ln (t) ldt converge, car, pour tout n de N :
n:;;,O 0
fo+oo lln(t)ldt = IÀ l 11 fo +oo tx - le-
=
u
e
u
11=(11+ 1)1 (n + l)X O
et
IÀ1 11 r(x)
f(x)
=
~ --(n + l)X (n + l)X
L
f(x)
(n + l)X
n:;;,O
converge puisque x > 1.
D'après 5.3.6 Th. p. 341, on déduit que S est intégrable sur
]O; +oo[ (ce qu'on pouvait voir directement) et :
lo
+oo
+oo lo+oo
+oo Àllf(x)
S(t)dt = L ln (t)dt = L
)X·
0
n=O 0
n=O (n + 1
Notons, pour n ~ 2, ln : [2; +oo[----+ IR. Alors :
Xf--+j_
nx
•pour tout n ~ 2, ln est continue par morceaux et intégrable
sur [2; +oo[
• L ln converge simplement sur [2; +oo[ et a pour somme
n:;;,2
S : [2; +oo[----+ IR
Xf-+Ç(x)-1
• S est continue par morceaux sur [2; +oo[, puisque Ç est continue sur ]1; +oo[
r +oo
• L }
2
1 ln (x) ldx converge car, pour tout n ~ 2 :
n:;;,2 2
h
+oo
h+oo 1
lln(x)ldx =
- dx
2
2
nX
= [ e- xlnn l +oo
-Inn 2
1
et L - 2
- - converge.
n:;;, 2 n Inn
1
n2Jnn'
D'après 5.3.6 Th. p. 341, S est intégrable sur [2; +oo[, et:
h
+oo (
)
+oo h+oo
+oo
1
Ç(x) - 1 dx=L
ln(x)dx=l:- 2
- .
2
n= 2 2
11 = 2 n ln n
I 1) Soient PO E Dt, PO= xo + iyo, (xo.Yo) E IR 2 ' p E IC,
p = x + iy, (x,y) E IR 2 , tel quex ~ xo.
On a : Vt E [0; +oo[ ,
le-P
1 l(t)I = e- xrll(t)I ~ e-xotll(t)I =le-Pot l(t)I.
Comme PO E Dt, t r---+ eP0
1 l(t) est intégrable sur
[O; +oo[, donc t r---+ e-pt l (t) est intégrable sur
[0; +oo[, et ainsi p E Dt.
2) L'application t i----+ e-pt tnea
1 est intégrable sur [0; +oo[ si
et seulement si Ré(p - a) > 0, c'est-à-dire Ré(p) > Ré(a).
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