"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
+oo
2
S'(x) = Z:-n 2 e- n x < 0
n=O
+oo
2.
•On a vu : 'v'x E IR+,
S"(x) = L n 4 e- n x > O.
n=O
1
a) • Pour x E JR+ fi xé, lfn (x) I n~ n . n ! , et donc L If,, (x) I
n
converge. Ceci montre que S est défin ie sur JR+ .
+oo (-l)n
• S(l) - ;
(n + l)!
+oo (- l )P
- 1
1
= - z: - 1
-
= -c-e - 1) = 1 - -,
p = I
p.
e
+oo x"
.
car L - =ex pour tout x réel (cf. aussi 6.5.3 1) p. 38 1).
0
p!
p=
• 'v'x E JR+,
+oo (- l )"x
+oo
(- 1)"
xS(x) - S(x + l )= L
+ L - - - -
n!(x + n)
(p- l )!(x+p)
n=O
p = I
+oo (-l)n(x+n)
- 1
= Z: n! (x+ n ) +l=e ·
n= I
b) Pour tout n de N , fn est de classe C
00 sur JR+ et :
'Vk E N, 'Vx E IR~, 1,
n!
(x + n)k+ l
Il est clair que, pour tout k de N, L f~k) converge normalen ~ 1
ment (donc uniformément) sur ]O; +oo[ .
D'après 5 .3.5 Corollaire p. 335, et par récurrence (sur k), on
en dédui t que S est de classe C
00 sur JR+ et :
c) ire méthode
+oo
( 1)"
s
n=O
Pour n E N*, fn pe ut être prolongée par continuité en 0 (par
(-l)n
fn (0) = - - ).Il est alors clair que ~ fn converge norman !n
L..,
n ~ I
lement (donc unifo rméme nt) sur lR+ .
D'après 5.3.2 Théorème p. 325, on en déduit:
l
+oo
+ oo ( - l )n
S(x) - - = L f,,(x) ----7 Z : - 1
- •
X
n= l
x~O+ n= I n.n
1
On peut affaiblir le résultat en : S(x) ""' - .
x~ Q+ X
2e méthode
D'après a):
1
1
xS(x) = S(x + 1) + - ---+ S(l) + - = 1 .
e x ~o+
e
d) Décomposons, pour (n,x) EN x JR+, f,,(x) en :
( -1 )"
1
(- 1)" (
n
n
2
)
fn (x) = - - · -
- = - - 1 - - + - + g,, (x) ,
n!x
1 + ~
n!x
x
x2
n 3
x3
où g,, (x) = --n-·
On en déduit :
1 + -
X
X
1 +oo (-1)"
1 +oo (-l)nn
S(x)= - 2: -
- - 2: -
x n=O n!
x2 n=O n!
1 +oo (- 1)nn2
+ 3 L 1 +T(x),
x n=O
n.
+oo (-l)n+ln3
où T (x ) = L
.
n=O n!x3(x + n )
+
00
n3
( 1 )
• IT(x) I::::;; L - 4 = o - 3
n=On!x
x--++oo x
+oo (- 1)"
• 2:-- =e- 1
n=O n !
+oo (-l)"n
+ oo (-1)"
+oo (- 1)"+ 1
. L - n! - = L (n - 1)! = L p!
n=O
n = I
p=O
= -e
-1
+oo (- l )" n 2
+oo (- l )" n
+oo (- l )P+ l(p + 1)
. L ni = L (n - 1)! = L
p!
n=O
·
n = I
p=Ü
+oo (-l)P+ I
+oo (- 1) "
= L (p - l )! - L ----p! = O.
p=I
p=O
1
1
( 1 )
Réponse: S (x) = - + - 2 + o
- 3
.
ex
ex
x~+oo
x
l o
i
l oi ( +oo (- l )" tx - l+n)
e)
tx - l e1 dt =
L
1
dt , et la série
0
0
n=O
n.
~ (
(-l)n x- l +n ) fi
, d'
1· .
.
L.., t r--+ ~ t
, ormee app 1cat10ns continues
n ~O
sur [0; l], converge normalement (donc uniforméme nt) sur
[0; l], d'où (cf. 5.3.4 Théorème p. 330) :
f I tx- le- t dt=~ (-l)n f I tx - l +n dt
Jo
n=O n! Jo
+oo (- l)n
l
= 2 : - · - = S ( x )
n=O n!
n + x
·
a) Pour x E JR+ fixé, la série L fn (x ) relève du TSCSA, donc
Il
converge et :
1
+oo
1
1
L fk(x) ::::;; l!,,+1 (x)I ::::;; J ..
k=n +I
· n + l
Réponse : • L fn converge uniformément sur IR+
n
• L fn ne converge pas normalement sur IR+ .
n
1 689
0
c
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S'(x) = Z:-n 2 e- n x < 0
n=O
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2.
•On a vu : 'v'x E IR+,
S"(x) = L n 4 e- n x > O.
n=O
1
a) • Pour x E JR+ fi xé, lfn (x) I n~ n . n ! , et donc L If,, (x) I
n
converge. Ceci montre que S est défin ie sur JR+ .
+oo (-l)n
• S(l) - ;
(n + l)!
+oo (- l )P
- 1
1
= - z: - 1
-
= -c-e - 1) = 1 - -,
p = I
p.
e
+oo x"
.
car L - =ex pour tout x réel (cf. aussi 6.5.3 1) p. 38 1).
0
p!
p=
• 'v'x E JR+,
+oo (- l )"x
+oo
(- 1)"
xS(x) - S(x + l )= L
+ L - - - -
n!(x + n)
(p- l )!(x+p)
n=O
p = I
+oo (-l)n(x+n)
- 1
= Z: n! (x+ n ) +l=e ·
n= I
b) Pour tout n de N , fn est de classe C
00 sur JR+ et :
'Vk E N, 'Vx E IR~, 1,
n!
(x + n)k+ l
Il est clair que, pour tout k de N, L f~k) converge normalen ~ 1
ment (donc uniformément) sur ]O; +oo[ .
D'après 5 .3.5 Corollaire p. 335, et par récurrence (sur k), on
en dédui t que S est de classe C
00 sur JR+ et :
c) ire méthode
+oo
( 1)"
s
n=O
Pour n E N*, fn pe ut être prolongée par continuité en 0 (par
(-l)n
fn (0) = - - ).Il est alors clair que ~ fn converge norman !n
L..,
n ~ I
lement (donc unifo rméme nt) sur lR+ .
D'après 5.3.2 Théorème p. 325, on en déduit:
l
+oo
+ oo ( - l )n
S(x) - - = L f,,(x) ----7 Z : - 1
- •
X
n= l
x~O+ n= I n.n
1
On peut affaiblir le résultat en : S(x) ""' - .
x~ Q+ X
2e méthode
D'après a):
1
1
xS(x) = S(x + 1) + - ---+ S(l) + - = 1 .
e x ~o+
e
d) Décomposons, pour (n,x) EN x JR+, f,,(x) en :
( -1 )"
1
(- 1)" (
n
n
2
)
fn (x) = - - · -
- = - - 1 - - + - + g,, (x) ,
n!x
1 + ~
n!x
x
x2
n 3
x3
où g,, (x) = --n-·
On en déduit :
1 + -
X
X
1 +oo (-1)"
1 +oo (-l)nn
S(x)= - 2: -
- - 2: -
x n=O n!
x2 n=O n!
1 +oo (- 1)nn2
+ 3 L 1 +T(x),
x n=O
n.
+oo (-l)n+ln3
où T (x ) = L
.
n=O n!x3(x + n )
+
00
n3
( 1 )
• IT(x) I::::;; L - 4 = o - 3
n=On!x
x--++oo x
+oo (- 1)"
• 2:-- =e- 1
n=O n !
+oo (-l)"n
+ oo (-1)"
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. L - n! - = L (n - 1)! = L p!
n=O
n = I
p=O
= -e
-1
+oo (- l )" n 2
+oo (- l )" n
+oo (- l )P+ l(p + 1)
. L ni = L (n - 1)! = L
p!
n=O
·
n = I
p=Ü
+oo (-l)P+ I
+oo (- 1) "
= L (p - l )! - L ----p! = O.
p=I
p=O
1
1
( 1 )
Réponse: S (x) = - + - 2 + o
- 3
.
ex
ex
x~+oo
x
l o
i
l oi ( +oo (- l )" tx - l+n)
e)
tx - l e1 dt =
L
1
dt , et la série
0
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n=O
n.
~ (
(-l)n x- l +n ) fi
, d'
1· .
.
L.., t r--+ ~ t
, ormee app 1cat10ns continues
n ~O
sur [0; l], converge normalement (donc uniforméme nt) sur
[0; l], d'où (cf. 5.3.4 Théorème p. 330) :
f I tx- le- t dt=~ (-l)n f I tx - l +n dt
Jo
n=O n! Jo
+oo (- l)n
l
= 2 : - · - = S ( x )
n=O n!
n + x
·
a) Pour x E JR+ fixé, la série L fn (x ) relève du TSCSA, donc
Il
converge et :
1
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1
1
L fk(x) ::::;; l!,,+1 (x)I ::::;; J ..
k=n +I
· n + l
Réponse : • L fn converge uniformément sur IR+
n
• L fn ne converge pas normalement sur IR+ .
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