"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Comme en a), L 1/, converge . localement uniformément sur
n
D. Enfin, L ln (x) converge pour tout x de D.
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on conclut que S est de
classe C 1 sur D et :
\:lx ED,
+oo
1
S'(x) = L
2·
n=I (n +x)
+oo ( 1
1 )
• S(l) = L - - -- = 1, série télescopique
n=I n
n+l
(cf. 4.3.8 1) b) Exemple 1) p. 263).
Réponse: S(l) = 1.
a) Etudier les variations de ln sur IR et déduire :
1
lllnlloo = - 3 ·
2nï
Réponse : L ln converge normalement sur IR .
n
b) Chaque ln est de classe C 1 sur IR et : \:ln E N*, \:/ x E IR,
1 - nx 2
l/,(x) = n(l + nx2)2.
Pour tout a E IR+ , on a:
\:ln EN*, \:lx E] - oo;-a[U[a; +oo[,
1
1
lln(x) I ~
2 ·
n(l +na )
Ainsi L J,; converge localement uniformément sur IR*.
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on conclut que S est de
classe C
1 sur IR* et :
\:lx E IR*,
+oo 1 - nx 2
S'(x) =' ""'
.
~ n(l + nx2)2
+oo
1
+oo ( 1
1 )
c) • S(l) = L
= L ~ - - = 1 ,
n=ln(n+l)
n=l n
n+l
série télescopique, cf. 4.3.8 1) b) Exemple l p. 263.
+oo
X
•\:lx E IR, S(-x) = L - 2
= -S(x).
n=l n(l +nx)
n 1
• Soit A E IR+ ; puisque L - ------+
k= I k noo
N 1
tel que L k ~ A + 1 .
k= l
+ oo, il existe N E N*
S(x)
+oo
1
N
1
Comme - - = L -----,,--- ~ L ----,,-X
n=I n(l+nx2)
n= l n(l+nx2)
~
1
~~.
etque L...,,
------+ L...,,
n=I n(l + nx
2 ) x-.O+ n=I n
il existe 1' / > 0 tel que :
S(x)
\:lx E]O; 17[, - > A.
X
Finalement :
S(x)
- - ------+ + OO.
X
x--+O+
•Puisque L ln converge uniformément sur [0; +oo[ (cf. a))
n
et que, pour tout n de N*,Jn(x)------+ 0, on déduit (cf. 5.3.2
x--++oo
Théorème p. 325 : S(x) ------+ O.
x--++oo
a) Réponse : • L ln converge simplement sur IR+
n
• L j,, ne converge pas uniformément sur IR+; L ln converge
n
n
normalement sur tout [a; +oo[, a > 0 fixé.
b) • Pour tout n de N, ln est de classe C
00 sur IR+ et :
\:/k EN, \:lx E IR+, l~k) (x) = (-n 2 )ke-n
2
x.
Il en résulte que, pour tout k de N*, L J,}k) converge
n;;,O
localement uniformément sur IR+.
• On a vu que L ln converge simplement sur IR+ .
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335 et par récurrence (sur k), on déduit que S est de classe C
00 sur IR+ et :
+oo
2
\:/k EN, \:lx E IR+ , s(k)(x) = .L:c-n 2 )ke-n X.
n=O
c) On a: S(x) = S2(x) + R1(x), où
2
2
S5(x) =Le- " x = 1 + e -x + e- 4x +
o (e- Sx)
n~
x~+oo
+oo
+oo
e-9x
L
-n
2 x
L -nx
0 ~ Rz(x) =
e
~
e
= - - -
-
-
1 - e-X'
11=3
n=9
Réponse: S(x) = 1 + e-x + e- 4 x + o (e-Sx).
x--++oo
N
2
d) •\:IN EN, \:lx E IR+, S(x) ~ L e- 11 x ------+ N + 1 ,
0
x-. o+
n =
d 'où l'on déduit S(x) ------+ + oo.
x -.O+
y
y= S (x)
0
X
et
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
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>0.
0
u
Comme en a), L 1/, converge . localement uniformément sur
n
D. Enfin, L ln (x) converge pour tout x de D.
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on conclut que S est de
classe C 1 sur D et :
\:lx ED,
+oo
1
S'(x) = L
2·
n=I (n +x)
+oo ( 1
1 )
• S(l) = L - - -- = 1, série télescopique
n=I n
n+l
(cf. 4.3.8 1) b) Exemple 1) p. 263).
Réponse: S(l) = 1.
a) Etudier les variations de ln sur IR et déduire :
1
lllnlloo = - 3 ·
2nï
Réponse : L ln converge normalement sur IR .
n
b) Chaque ln est de classe C 1 sur IR et : \:ln E N*, \:/ x E IR,
1 - nx 2
l/,(x) = n(l + nx2)2.
Pour tout a E IR+ , on a:
\:ln EN*, \:lx E] - oo;-a[U[a; +oo[,
1
1
lln(x) I ~
2 ·
n(l +na )
Ainsi L J,; converge localement uniformément sur IR*.
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335, on conclut que S est de
classe C
1 sur IR* et :
\:lx E IR*,
+oo 1 - nx 2
S'(x) =' ""'
.
~ n(l + nx2)2
+oo
1
+oo ( 1
1 )
c) • S(l) = L
= L ~ - - = 1 ,
n=ln(n+l)
n=l n
n+l
série télescopique, cf. 4.3.8 1) b) Exemple l p. 263.
+oo
X
•\:lx E IR, S(-x) = L - 2
= -S(x).
n=l n(l +nx)
n 1
• Soit A E IR+ ; puisque L - ------+
k= I k noo
N 1
tel que L k ~ A + 1 .
k= l
+ oo, il existe N E N*
S(x)
+oo
1
N
1
Comme - - = L -----,,--- ~ L ----,,-X
n=I n(l+nx2)
n= l n(l+nx2)
~
1
~~.
etque L...,,
------+ L...,,
n=I n(l + nx
2 ) x-.O+ n=I n
il existe 1' / > 0 tel que :
S(x)
\:lx E]O; 17[, - > A.
X
Finalement :
S(x)
- - ------+ + OO.
X
x--+O+
•Puisque L ln converge uniformément sur [0; +oo[ (cf. a))
n
et que, pour tout n de N*,Jn(x)------+ 0, on déduit (cf. 5.3.2
x--++oo
Théorème p. 325 : S(x) ------+ O.
x--++oo
a) Réponse : • L ln converge simplement sur IR+
n
• L j,, ne converge pas uniformément sur IR+; L ln converge
n
n
normalement sur tout [a; +oo[, a > 0 fixé.
b) • Pour tout n de N, ln est de classe C
00 sur IR+ et :
\:/k EN, \:lx E IR+, l~k) (x) = (-n 2 )ke-n
2
x.
Il en résulte que, pour tout k de N*, L J,}k) converge
n;;,O
localement uniformément sur IR+.
• On a vu que L ln converge simplement sur IR+ .
n
D'après 5.3.5 Corollaire p. 335 et par récurrence (sur k), on déduit que S est de classe C
00 sur IR+ et :
+oo
2
\:/k EN, \:lx E IR+ , s(k)(x) = .L:c-n 2 )ke-n X.
n=O
c) On a: S(x) = S2(x) + R1(x), où
2
2
S5(x) =Le- " x = 1 + e -x + e- 4x +
o (e- Sx)
n~
x~+oo
+oo
+oo
e-9x
L
-n
2 x
L -nx
0 ~ Rz(x) =
e
~
e
= - - -
-
-
1 - e-X'
11=3
n=9
Réponse: S(x) = 1 + e-x + e- 4 x + o (e-Sx).
x--++oo
N
2
d) •\:IN EN, \:lx E IR+, S(x) ~ L e- 11 x ------+ N + 1 ,
0
x-. o+
n =
d 'où l'on déduit S(x) ------+ + oo.
x -.O+
y
y= S (x)
0
X
et