"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
En notant ln,p =Io
1
x
2 n (-lnx)P dx , montrer, par une inté -
.
. 1
p
1
d' '
grat10n par parties, n,p =
2
n +
1
n,p- 1, ou
l
=
p!
n,p
(2n + l)P+ I ·
e) Même méthode qu'en d).
f) Même méthode qu'en b).
a) 1 ) Convergence absolue
Pour x E JR+ , n 2 1fn(x)I = n e-xJn ~O.
noo
2) Convergence simple
Pour x < 0, 1 fn (x) 1 --+-+ 0 ; L fn (0) converge.
noo
n
3) Convergence normale
1
• llf,,lloo = - (sur lR+)
n
•Va > 0 , Sup lf,,(x)I = f,,(a).
xE[a: +oo[
4) Convergence uniforme
Puisque, pour x E lR+ fi xé, (JJ,, (x) DneN• décroît et tend vers
0, on a:
JR,,(x) J = 1 ~ fk(x) I : : : : . ; l!n+ I (x) J
k=n + I
e-x.rn+T
1
::::.;-- .
n + I
n+l
Réponse • l'ensemble de convergence simple de L fn
n
est lR+
• L'ensemble de convergence absolue de L fn est JR+
n
• L fn ne converge pas normalement sur lR+ ; pour tout a > 0
li
fixé,
• L fn converge normalement sur [a; +oo[
Il
• L fn converge uniformé ment sur lR+.
Il
b) • Pour tout n de N*, f 11 est de classe C 1 sur lR+ et :
f,
'( ) = (-l)n+ l - xJn
11 x
.jiî e
•Comme en a), on montre que L f~ converge uniformément
n
sur lR+ (la convergence locale uniforme suffirait ici)
• On a vu que L f 11 (x) converge pour tout x de lR+.
11 ~ )
D'après 5 .3.5 Corollaire p. 335, on déduit que S est de classe C 1
sur lR+ et:
+oo
+oo ( l)n+ 1
S'(x) = L f~(x) = L -
e - xJn .
n= I
n=I
Jn
c) • Pour x E 1R+ , la série numérique L f~ (x) relève du
n ~ I
TSCSA, donc S' (x) est du signe de f{ (x) , donc est :;?; 0. Ainsi,
S est croissante sur lR+.
+oo (-1)"
• S(O) = L -- = - ln 2, cf. 6.5.3 4) Rem. p. 383.
n=l
n
+oo (- l)n+ I
Et S' (O) = L Jn :::: 0,6.
11=1
• Le même raisonnement qu'en b) montre que S est de classe
c 2 sur JR+ et :
+oo
'Vx E JR+ , S"(x) = L (-1 )ne-xJn ::::. ; 0,
n=l
d'où le sens de la concavité de la courbe de S.
• Comme L f,, converge uniformément sur lR+ et que
Il
('Vn EN*,
f,,(x) ~ 0), on déduit (cf. 5.3.2 Th.
x__,.+oo
p. 325): S(x) ~ O.
x__,.+oo
y
X
y = S (x)
- ln 2
a) J) Convergence simple
X
X
Pour x E D fixé, f,,(x) =
~ - 2
n(n +x) noo n
2) Convergence normale
• Pour chaque n de N*, fn n'e st pas bornée sur D .
a
•Pour a E lR+ fixé, Sup Jf, 1 (x)J ::::. ; 2.
xe [O;a]
n
• Pour (a,{3) E JR 2 fixé tel qu'il existe k E z~ tel que
k < a ::::.; f3 < k + 1, on a, pour tout n d e N* tel que
n > JkJ + 1 :
lk l + 1
Sup lf11(x)I ::::.;
·
x e [a ;f!]
n(n - f3)
Réponse : • L f n converge simplement sur D
n
• L fn ne converge pas un uniformément sur D ; pour tout
n
a E lR+, L fn converge uniformément sur [O; a] ; pour tout
n
(a,{3) de JR 2 telqu'il existek E Z~ telquek < a , :;_; f3 < k+1 ,
L fn converge normalement sur [a; f3].
n
b) • Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur D et :
1
1
'Vx E D ,f,,(x) =
2
.
(n +x)
1 687
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
En notant ln,p =Io
1
x
2 n (-lnx)P dx , montrer, par une inté -
.
. 1
p
1
d' '
grat10n par parties, n,p =
2
n +
1
n,p- 1, ou
l
=
p!
n,p
(2n + l)P+ I ·
e) Même méthode qu'en d).
f) Même méthode qu'en b).
a) 1 ) Convergence absolue
Pour x E JR+ , n 2 1fn(x)I = n e-xJn ~O.
noo
2) Convergence simple
Pour x < 0, 1 fn (x) 1 --+-+ 0 ; L fn (0) converge.
noo
n
3) Convergence normale
1
• llf,,lloo = - (sur lR+)
n
•Va > 0 , Sup lf,,(x)I = f,,(a).
xE[a: +oo[
4) Convergence uniforme
Puisque, pour x E lR+ fi xé, (JJ,, (x) DneN• décroît et tend vers
0, on a:
JR,,(x) J = 1 ~ fk(x) I : : : : . ; l!n+ I (x) J
k=n + I
e-x.rn+T
1
::::.;-- .
n + I
n+l
Réponse • l'ensemble de convergence simple de L fn
n
est lR+
• L'ensemble de convergence absolue de L fn est JR+
n
• L fn ne converge pas normalement sur lR+ ; pour tout a > 0
li
fixé,
• L fn converge normalement sur [a; +oo[
Il
• L fn converge uniformé ment sur lR+.
Il
b) • Pour tout n de N*, f 11 est de classe C 1 sur lR+ et :
f,
'( ) = (-l)n+ l - xJn
11 x
.jiî e
•Comme en a), on montre que L f~ converge uniformément
n
sur lR+ (la convergence locale uniforme suffirait ici)
• On a vu que L f 11 (x) converge pour tout x de lR+.
11 ~ )
D'après 5 .3.5 Corollaire p. 335, on déduit que S est de classe C 1
sur lR+ et:
+oo
+oo ( l)n+ 1
S'(x) = L f~(x) = L -
e - xJn .
n= I
n=I
Jn
c) • Pour x E 1R+ , la série numérique L f~ (x) relève du
n ~ I
TSCSA, donc S' (x) est du signe de f{ (x) , donc est :;?; 0. Ainsi,
S est croissante sur lR+.
+oo (-1)"
• S(O) = L -- = - ln 2, cf. 6.5.3 4) Rem. p. 383.
n=l
n
+oo (- l)n+ I
Et S' (O) = L Jn :::: 0,6.
11=1
• Le même raisonnement qu'en b) montre que S est de classe
c 2 sur JR+ et :
+oo
'Vx E JR+ , S"(x) = L (-1 )ne-xJn ::::. ; 0,
n=l
d'où le sens de la concavité de la courbe de S.
• Comme L f,, converge uniformément sur lR+ et que
Il
('Vn EN*,
f,,(x) ~ 0), on déduit (cf. 5.3.2 Th.
x__,.+oo
p. 325): S(x) ~ O.
x__,.+oo
y
X
y = S (x)
- ln 2
a) J) Convergence simple
X
X
Pour x E D fixé, f,,(x) =
~ - 2
n(n +x) noo n
2) Convergence normale
• Pour chaque n de N*, fn n'e st pas bornée sur D .
a
•Pour a E lR+ fixé, Sup Jf, 1 (x)J ::::. ; 2.
xe [O;a]
n
• Pour (a,{3) E JR 2 fixé tel qu'il existe k E z~ tel que
k < a ::::.; f3 < k + 1, on a, pour tout n d e N* tel que
n > JkJ + 1 :
lk l + 1
Sup lf11(x)I ::::.;
·
x e [a ;f!]
n(n - f3)
Réponse : • L f n converge simplement sur D
n
• L fn ne converge pas un uniformément sur D ; pour tout
n
a E lR+, L fn converge uniformément sur [O; a] ; pour tout
n
(a,{3) de JR 2 telqu'il existek E Z~ telquek < a , :;_; f3 < k+1 ,
L fn converge normalement sur [a; f3].
n
b) • Pour tout n de N*, fn est de classe C 1 sur D et :
1
1
'Vx E D ,f,,(x) =
2
.
(n +x)
1 687