"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
x e- ax
b) Montrer d'abord que x ~
est intégrable sur
1 - e- bx
]O; +oo[ ; puis :
lo
+oo x e-ax
1 j 1 â - 1 In t
I =
dx = - -
dt .
a
l - e- bx
t=e- bx b2 a
l - t
Considérons L ln où ln : [O; l] -----+ IR est définie par
n;;. l
{
t ~ +n- l ln t
ln (t ) =
0
si t =f. 0
si t = 0
et l a : ]O; l] -----+ IR .
t ~ ln t
On a, pour tout n de N et tout t de ]0; l [ :
+ oo
+ oo
t ~+n ln t
Rn(t ) = ' °"' lk(t ) = â - 1 lnt ' °"' tk = - - -
L,
L,
1 -t
k=n+l
k=n+l
t ~ ln t
Comme 1 - t
est continue sur [O; 1], et :
1 1
1
1 lai t ~+n (-lnt)
R,, (t) dt =
dt
a
a
1 - t
!a
l t ~ lnt
!al
llmll
=
- - - - ln dt ~ llrp lloo
t" dt=~.
a 1 - t
a
n+ l
Ainsi f' R,, (t ) dt -----+ O. On en déduit (cf. 5.3.4 Remarque
la
noo
p.331):
1 +oo l a 1 a
I = - - ' °"' t b+n- llntdt .
b 2 L, a
n=a
Une intégration par parties fournit :
{]
a
l
la ti;+n- llntdt= - (a
) 2.
- + n
b
+oo
1
I = L (a+ bn)2 ·
n=a
D'où
Cf. aussi, plus loin, 5.3.6 Exemple p. 342.
cosax
c) Montre r d'abord que x ~ - - est intégrabl e sur
ch x
[O; +oo[ .
Puis :
I=
- - d x =
dx
la
+ oo cosax
j + oo 2e-xcosax
a
chx
a
l + e - 2x
= fo+oo (~ ln(x) ) d x ,
où: l n : [0; +oo[---+ IR
x ~ 2e-xcosax (- l)n( e-2x) "
Pour tout n de N, l'application R,, définie par :
+oo
2e- xcos ax e - 2 C n+ l)x
V XE IR+ , Rn(x) = ' °"' l k(x) = - - - - - - -
L,
1 + e- 2x
k=n+ I
est continue, intégrable sur [0; +oo[. On a:
1
f + oo R (x) dx l ~ f + oo e-2(n +l)x d x = __ 1_
la
n
"' la
2 (n + l ),
ce qui montre qu'on peut permuter fo+oo
Remarque p. 331), d'où :
+ oo
et 2:
n=a
(cf. 5.3.4
+ oo
r +oo
= L 2(- l)n l o e- < 2 n+l )xcosaxdx .
n=a
a
Enfin, on sait (cf. Analyse MPST, 9.3 3)) :
*
lo+oo - =
a
V (a,{J)E IR+x IR,
e
cos {Jx d x = 2
2
.
a
a + fJ
d) Considérons, pour n E N*,
ln : [0; 1] -----+ IR
{
(- l)"x 2 " (-ln x )P
X r-----+
0
et la : ]O; l] -----+ IR
x r-----+ (-ln x )P
On a alors :
Si X =j:. 0
Si X = 0
1
1 (- ln x ) P
1
1
( +oo
)
- - -
2
- dx =
Lf.,(x) dx .
0
1 +X
0
n=O
Pour n E N et x E [O; l], on a :
+oo
+ oo
Rn(x ) = L lk (x) = (-ln x ) P L (-x 2 )k
k=n+l
k=n+ l
(-ln x )P (- 1)"+ 1 x 2 (n + I)
l + x 2
L'application [O; l] -----+ IR
l
x 2 (-ln x)"
1 +x 2
0
si X =j:. 0
si X = 0
étant continue sur le segment [O; l] , il ex iste M E IR+ tel que :
Vx E [O; l], lrp(x) I ~ M.
On a alors:
Vn E N,
1
f' Rn(x ) d xl ~ M {' x 2 " dx = ___!!_____
la
la
2n + 1
Ceci montre : f 1 R,,(x ) dx--+ O.
la
noo
D'après 5.3.4 Remarque p. 331 , on peut alors permuter fo'
+oo
et L • d'où :
n=a
+oo
r'
I = L (- 1)" lo x
2
" (- ln x)" dx .
n=a
a
0
c
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b) Montrer d'abord que x ~
est intégrable sur
1 - e- bx
]O; +oo[ ; puis :
lo
+oo x e-ax
1 j 1 â - 1 In t
I =
dx = - -
dt .
a
l - e- bx
t=e- bx b2 a
l - t
Considérons L ln où ln : [O; l] -----+ IR est définie par
n;;. l
{
t ~ +n- l ln t
ln (t ) =
0
si t =f. 0
si t = 0
et l a : ]O; l] -----+ IR .
t ~ ln t
On a, pour tout n de N et tout t de ]0; l [ :
+ oo
+ oo
t ~+n ln t
Rn(t ) = ' °"' lk(t ) = â - 1 lnt ' °"' tk = - - -
L,
L,
1 -t
k=n+l
k=n+l
t ~ ln t
Comme 1 - t
est continue sur [O; 1], et :
1 1
1
1 lai t ~+n (-lnt)
R,, (t) dt =
dt
a
a
1 - t
!a
l t ~ lnt
!al
llmll
=
- - - - ln dt ~ llrp lloo
t" dt=~.
a 1 - t
a
n+ l
Ainsi f' R,, (t ) dt -----+ O. On en déduit (cf. 5.3.4 Remarque
la
noo
p.331):
1 +oo l a 1 a
I = - - ' °"' t b+n- llntdt .
b 2 L, a
n=a
Une intégration par parties fournit :
{]
a
l
la ti;+n- llntdt= - (a
) 2.
- + n
b
+oo
1
I = L (a+ bn)2 ·
n=a
D'où
Cf. aussi, plus loin, 5.3.6 Exemple p. 342.
cosax
c) Montre r d'abord que x ~ - - est intégrabl e sur
ch x
[O; +oo[ .
Puis :
I=
- - d x =
dx
la
+ oo cosax
j + oo 2e-xcosax
a
chx
a
l + e - 2x
= fo+oo (~ ln(x) ) d x ,
où: l n : [0; +oo[---+ IR
x ~ 2e-xcosax (- l)n( e-2x) "
Pour tout n de N, l'application R,, définie par :
+oo
2e- xcos ax e - 2 C n+ l)x
V XE IR+ , Rn(x) = ' °"' l k(x) = - - - - - - -
L,
1 + e- 2x
k=n+ I
est continue, intégrable sur [0; +oo[. On a:
1
f + oo R (x) dx l ~ f + oo e-2(n +l)x d x = __ 1_
la
n
"' la
2 (n + l ),
ce qui montre qu'on peut permuter fo+oo
Remarque p. 331), d'où :
+ oo
et 2:
n=a
(cf. 5.3.4
+ oo
r +oo
= L 2(- l)n l o e- < 2 n+l )xcosaxdx .
n=a
a
Enfin, on sait (cf. Analyse MPST, 9.3 3)) :
*
lo+oo - =
a
V (a,{J)E IR+x IR,
e
cos {Jx d x = 2
2
.
a
a + fJ
d) Considérons, pour n E N*,
ln : [0; 1] -----+ IR
{
(- l)"x 2 " (-ln x )P
X r-----+
0
et la : ]O; l] -----+ IR
x r-----+ (-ln x )P
On a alors :
Si X =j:. 0
Si X = 0
1
1 (- ln x ) P
1
1
( +oo
)
- - -
2
- dx =
Lf.,(x) dx .
0
1 +X
0
n=O
Pour n E N et x E [O; l], on a :
+oo
+ oo
Rn(x ) = L lk (x) = (-ln x ) P L (-x 2 )k
k=n+l
k=n+ l
(-ln x )P (- 1)"+ 1 x 2 (n + I)
l + x 2
L'application [O; l] -----+ IR
l
x 2 (-ln x)"
1 +x 2
0
si X =j:. 0
si X = 0
étant continue sur le segment [O; l] , il ex iste M E IR+ tel que :
Vx E [O; l], lrp(x) I ~ M.
On a alors:
Vn E N,
1
f' Rn(x ) d xl ~ M {' x 2 " dx = ___!!_____
la
la
2n + 1
Ceci montre : f 1 R,,(x ) dx--+ O.
la
noo
D'après 5.3.4 Remarque p. 331 , on peut alors permuter fo'
+oo
et L • d'où :
n=a
+oo
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I = L (- 1)" lo x
2
" (- ln x)" dx .
n=a
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