"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
(n + n-x+l
= - - -
x-1
x-1
1 ( n
n+ 1
)
-~ L p.p- x - L(q - l)q -x
p=I
q=2
l
( + l)-x+l l (n+ I
)
- x--- 1 - n x - 1 -~ Lq - x - (n + 1) - x+ l .
q=l
On en déduit, en faisant tendre n vers l'infini :
li
+oo t - E(t)
1
1
l(x) =
dt= - - - -~(x).
1
rx+ I
X - 1
X
f3) Remarquer que x r-----+ I (x) décroît sur] l; +oo[, et donc:
0 :( l (x) :( I (1), d'où :
(x - l)Ç(x) = x - x(x - l)/(x) -----+ 1.
X ----'> J +
d'où : V n E N, V x E IR,
ce qui montre que L 'Pn est normalement (donc uniformément),
Il
convergente sur lR .
l
: : ~
- 1
1
Q
1
X
-2
2
Puisque chaque 'Pn est continue sur IR , on conclut que la
+oo
somme S = L cp 11 est continue sur IR.
n=O
2) Soient xo E IR+ , n E N*. Pour tout p de N et s E {-1, 1},
notons:
- - - - - - - - - -
n, p , t: -
s4 - n
cpo(4P xo + s4P- n) - cpo(4P xo)
s4P-n
Si p ;;:::: n, alors s4P11 E Z et donc, puisque 'PO est
1-périodique: Tn ,p,E =O.
Il existes E {-1, l} tel que l4n-l xo + ~; 4n-I xol
(intervalle ouverts d'extrémités 4n - l xo + ~et 4n - l xo)
1
1s1 1
ne contienne aucun élément de 2 Z, car 4 = 4.
Supposons p :( n - 1 . Si l4P xo + s4P11 ; 4P xo 1 contenait un
élément r de ~Z, alors 1 4
11 -
1 xo + ~; 4n-I xol contiendrait
1
4
11 -
1 - Pr, et4n- l - pr E -Z,contradiction.
2
Ceci montre: V p E {0, ... ,n - 1},
1
cpo(4Px 0 + s4P11
) -
'Po(4Pxo) 1=1.
s4P- 11
. .
S(xo + s411
) -
S(xo)
Ams1, en notant T 11 =
, on a :
s4- 11
+oo
11-l
Tn = L Tn ,p ,t: = L Tn ,p ,t: •
p=O
p=O
et donc r 11 est un entier relatif de même parité que n.
Il est alors clair que (r 11 )neN• diverge, et donc S n'est pas dérivable en xo .
a) Montrer d'abord que x r-----+ x(x - ln(ex - 1)) est intégrable sur ]O; +oo[ ; puis :
l = fo+oo x(x - ln (ex - 1)) dx
= 1+oo -x ln (1 - e -x) dx
= {
1 ln t ln (1 - t) dt.
t=e-' Jo
t
Obtenir, par une intégration par parties :
I = ~ {1 (lnt)2 dt.
2 lo 1 - t
Comme: V t E [O; 1],
1
+oo
-
- "\"'""'tn
1-t-L... ,
n=O
nous sommes amenés à considérer la série d'applications
L fn, où fn : [O; l] -----+ lR est définie par :
11 ;;;, l
si t :fa O
si t = 0
et f o : ]O; 1] -----+ lR .
t r-----+ (ln t) 2
Pour n E N*, étudier les variations de f,,, et en déduire que
L f n converge normalement, donc uniformément, sur [O; 1].
n;;;, 1
D'après 5.3.4 Théorème p. 330, on a alors :
Montrer enfin, en utilisant une intégration par parties :
"ln E N ,
(cf. aussi exercice 5.3.23 e) p. 334).
+oo t11
Variante: Utiliser: Vt E [O; l[, ln (1 - t) = - 2: - ,
n= I n
(Cf. 6.5.3 4) p. 383) , ce qui évite l'intégration par parties du
début de la solution.
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p=I
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l
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)
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q=l
On en déduit, en faisant tendre n vers l'infini :
li
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1
1
l(x) =
dt= - - - -~(x).
1
rx+ I
X - 1
X
f3) Remarquer que x r-----+ I (x) décroît sur] l; +oo[, et donc:
0 :( l (x) :( I (1), d'où :
(x - l)Ç(x) = x - x(x - l)/(x) -----+ 1.
X ----'> J +
d'où : V n E N, V x E IR,
ce qui montre que L 'Pn est normalement (donc uniformément),
Il
convergente sur lR .
l
: : ~
- 1
1
Q
1
X
-2
2
Puisque chaque 'Pn est continue sur IR , on conclut que la
+oo
somme S = L cp 11 est continue sur IR.
n=O
2) Soient xo E IR+ , n E N*. Pour tout p de N et s E {-1, 1},
notons:
- - - - - - - - - -
n, p , t: -
s4 - n
cpo(4P xo + s4P- n) - cpo(4P xo)
s4P-n
Si p ;;:::: n, alors s4P11 E Z et donc, puisque 'PO est
1-périodique: Tn ,p,E =O.
Il existes E {-1, l} tel que l4n-l xo + ~; 4n-I xol
(intervalle ouverts d'extrémités 4n - l xo + ~et 4n - l xo)
1
1s1 1
ne contienne aucun élément de 2 Z, car 4 = 4.
Supposons p :( n - 1 . Si l4P xo + s4P11 ; 4P xo 1 contenait un
élément r de ~Z, alors 1 4
11 -
1 xo + ~; 4n-I xol contiendrait
1
4
11 -
1 - Pr, et4n- l - pr E -Z,contradiction.
2
Ceci montre: V p E {0, ... ,n - 1},
1
cpo(4Px 0 + s4P11
) -
'Po(4Pxo) 1=1.
s4P- 11
. .
S(xo + s411
) -
S(xo)
Ams1, en notant T 11 =
, on a :
s4- 11
+oo
11-l
Tn = L Tn ,p ,t: = L Tn ,p ,t: •
p=O
p=O
et donc r 11 est un entier relatif de même parité que n.
Il est alors clair que (r 11 )neN• diverge, et donc S n'est pas dérivable en xo .
a) Montrer d'abord que x r-----+ x(x - ln(ex - 1)) est intégrable sur ]O; +oo[ ; puis :
l = fo+oo x(x - ln (ex - 1)) dx
= 1+oo -x ln (1 - e -x) dx
= {
1 ln t ln (1 - t) dt.
t=e-' Jo
t
Obtenir, par une intégration par parties :
I = ~ {1 (lnt)2 dt.
2 lo 1 - t
Comme: V t E [O; 1],
1
+oo
-
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n=O
nous sommes amenés à considérer la série d'applications
L fn, où fn : [O; l] -----+ lR est définie par :
11 ;;;, l
si t :fa O
si t = 0
et f o : ]O; 1] -----+ lR .
t r-----+ (ln t) 2
Pour n E N*, étudier les variations de f,,, et en déduire que
L f n converge normalement, donc uniformément, sur [O; 1].
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D'après 5.3.4 Théorème p. 330, on a alors :
Montrer enfin, en utilisant une intégration par parties :
"ln E N ,
(cf. aussi exercice 5.3.23 e) p. 334).
+oo t11
Variante: Utiliser: Vt E [O; l[, ln (1 - t) = - 2: - ,
n= I n
(Cf. 6.5.3 4) p. 383) , ce qui évite l'intégration par parties du
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