"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
ce qui montre que L g,, converge normalement sur A , donc
n;>M+ 1
L 8n aussi.
11 ;> 1
D '
1 ' . d'
,. .
'"'(- l )"
autre part, a sene app 1cat1ons constantes L.., - -
n;> 1 n
converge uniformément sur A , d'après le TSCSA :
'V n E N*,
1
+oo (- l)k 1
1
2= - : ( -
k=n+ I k
"' n+ 1 ·
Ainsi, L 1 11 converge uniformément sur A.
n;>O
Réponse : • L ln converge simplement sur C - z_.
n;>O
• L ln ne converge absolument en aucun complexe
n;>O
L 111 converge uniformément sur toute partie bornée
n;,O
de c - z_
• L 111 ne converge normalement sur aucune partie non vide
n;>O
de C.
b) Puisque L ln converge localement uniformément sur
Il
C - z _ (cf. a)) et que chaque 1 11 y est continue, on conclut
que S est continue sur C - z_.
a) a) Soit x E lR+ ; notons v = E(x) + 1.
Soit N E N tel que N ~ v. On a:
N
N
L l,,(x) = L (g(n) - g(n + x))
n=O
n=O
N
N
N
~ L(g(n) - g(n + v)) = L g(n) - L g(n + v)
n=O
11=0
11=0
N
N+ v
v- 1
N+ v
= L g(n)- L g(p) = L g(n ) - L g(n )
11=0
p=v
n=O
n=N+ I
v- 1
~ L: g(n ).
11=0
{3) Pour x E lR+ fi xé, la série numérique L ln (x) est à
n;,O
termes dans lR+ et à sommes partielles majorées (cf. a)), donc
converge.
b) Soit (x , y) E (lR+ )
2 tel que x ~ y . Puisque g est décroissante, on a:
'V n E N,
l,,(x) = g(n) - g(n + x) , _, : ; ; g(n) - g(n +y)= l,,(y),
+oo
+oo
d'où : S(x) = L ln(x) ~ L l nCY) = S(y).
11=0
11 =0
c) On a , pour tout (N ,x) de N x lR+:
ta ( g(n)-g(n + (x + 1 )))-to ( g(n)-g(n +x))
= ta(g(n+x)-g(n+x+I))
= g(x) - g(N + x + 1).
Comme g ----+ 0, on déduit, pour x E lR+ fixé, en faisant tendre
+oo
N vers l'infini : S(x + 1) - S(x) = g(x).
d) a ) Soit a E lR+ fixé. On a, pour tout (n,x) de N x [O; a ],
en notant v = E(x) + 1 :
+oo
IR,,(x) I = L ( g(p) - g(p + x))
p=n+ I
+oo
= L:: (g(p) - g( p + x))
p=n+l
+oo
~ L:: (g(p) - g( p + v))
p=n+ I
n+v- l
11+E(a)
= L:: g(p) ~ L:: g(p).
p=n+ l
p=n+ l
n+ E (a)
Ceci montre: 'Vn E N, ll R11 l[O:a] lloo ~ L g( p ).
p=11+l
Comme g -----+ 0 et que a est fixé, on conclut :
+oo
C.V .
R,, 1 [O:a] -----+ 0 .
lt OO
{3) Puisque L ln converge localement uniformément sur
Il
lR+ et que chaque ln est continue sur lR+ , on co nclut que S est
continue sur lR+ .
e) Réponse: {S + 8;
lJ Réponse : 'V x E lR+ ,
8 E JR~+ et 8 1-périodique}.
l - e- X
S(x) = l -e-1 ·
1
+ oo 1
Ç(x) - l - - = ' °"' - .
2x
L.., rz x
n=3
a) D'abord: 'V x E]l ; +oo[,
1
Puisque t 1-+ - décroît et est intégrable sur [2; +oo[, on obt x
tient par comparaison série-intégrale :
+oo 1
h +oo
2 - x+ l
o ~ L:: - ~ t - x dt = - - . = o c2- x) .
n= 3
rzx
2
x - 1
x--> +oo
Finalement: Ç(x) = l + rx + o (rx).
x --> +oo
b) Soit x E]l ; +oo[ ; on a, pour tout n de N*:
li
n+ 1 t _ E(t)
lin+ I
n
1
p+ 1
-~- dt =
t - x dt - '"'p t - x - 1 dt
1
rx+I
1
L..,
p=l
p
(n+l)- x+ I l n (
)
X - 1 -
x - 1
-~ L
p.px - p (p + 1) - x
p= I
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n;>M+ 1
L 8n aussi.
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autre part, a sene app 1cat1ons constantes L.., - -
n;> 1 n
converge uniformément sur A , d'après le TSCSA :
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Ainsi, L 1 11 converge uniformément sur A.
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Réponse : • L ln converge simplement sur C - z_.
n;>O
• L ln ne converge absolument en aucun complexe
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L 111 converge uniformément sur toute partie bornée
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de c - z_
• L 111 ne converge normalement sur aucune partie non vide
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de C.
b) Puisque L ln converge localement uniformément sur
Il
C - z _ (cf. a)) et que chaque 1 11 y est continue, on conclut
que S est continue sur C - z_.
a) a) Soit x E lR+ ; notons v = E(x) + 1.
Soit N E N tel que N ~ v. On a:
N
N
L l,,(x) = L (g(n) - g(n + x))
n=O
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N
N
N
~ L(g(n) - g(n + v)) = L g(n) - L g(n + v)
n=O
11=0
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v- 1
N+ v
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11=0
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n=O
n=N+ I
v- 1
~ L: g(n ).
11=0
{3) Pour x E lR+ fi xé, la série numérique L ln (x) est à
n;,O
termes dans lR+ et à sommes partielles majorées (cf. a)), donc
converge.
b) Soit (x , y) E (lR+ )
2 tel que x ~ y . Puisque g est décroissante, on a:
'V n E N,
l,,(x) = g(n) - g(n + x) , _, : ; ; g(n) - g(n +y)= l,,(y),
+oo
+oo
d'où : S(x) = L ln(x) ~ L l nCY) = S(y).
11=0
11 =0
c) On a , pour tout (N ,x) de N x lR+:
ta ( g(n)-g(n + (x + 1 )))-to ( g(n)-g(n +x))
= ta(g(n+x)-g(n+x+I))
= g(x) - g(N + x + 1).
Comme g ----+ 0, on déduit, pour x E lR+ fixé, en faisant tendre
+oo
N vers l'infini : S(x + 1) - S(x) = g(x).
d) a ) Soit a E lR+ fixé. On a, pour tout (n,x) de N x [O; a ],
en notant v = E(x) + 1 :
+oo
IR,,(x) I = L ( g(p) - g(p + x))
p=n+ I
+oo
= L:: (g(p) - g( p + x))
p=n+l
+oo
~ L:: (g(p) - g( p + v))
p=n+ I
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11+E(a)
= L:: g(p) ~ L:: g(p).
p=n+ l
p=n+ l
n+ E (a)
Ceci montre: 'Vn E N, ll R11 l[O:a] lloo ~ L g( p ).
p=11+l
Comme g -----+ 0 et que a est fixé, on conclut :
+oo
C.V .
R,, 1 [O:a] -----+ 0 .
lt OO
{3) Puisque L ln converge localement uniformément sur
Il
lR+ et que chaque ln est continue sur lR+ , on co nclut que S est
continue sur lR+ .
e) Réponse: {S + 8;
lJ Réponse : 'V x E lR+ ,
8 E JR~+ et 8 1-périodique}.
l - e- X
S(x) = l -e-1 ·
1
+ oo 1
Ç(x) - l - - = ' °"' - .
2x
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n=3
a) D'abord: 'V x E]l ; +oo[,
1
Puisque t 1-+ - décroît et est intégrable sur [2; +oo[, on obt x
tient par comparaison série-intégrale :
+oo 1
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2 - x+ l
o ~ L:: - ~ t - x dt = - - . = o c2- x) .
n= 3
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x - 1
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Finalement: Ç(x) = l + rx + o (rx).
x --> +oo
b) Soit x E]l ; +oo[ ; on a, pour tout n de N*:
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1
p+ 1
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p.px - p (p + 1) - x
p= I