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0
c
::J
0
CV)
.-i
0
N
©
.....
..c
Ol
'ï::
>0..
0
u
Réponse : • l'e nsemble de convergence simple d e
L ln est] 1; + oo[
n
• L J, 1 ne converge pas uniformément sur ] 1; +oo[ ;
n
• L ln converge normalement sur tout [a; +oo[ , a > 1 fixé.
n
b) L ln converge localement uniformément sur] 1; +oo[ et
n
chaque J, 1 est continue sur ]l ; +oo[ donc S est continue sur
]l ; +oo[.
n 1
c) Soit A E IR+ fixé; puisque~ - ----+ +oo, il existe N E N*
L.., k noo
k= I
N 1
tel que L k ~ A + 1 . Comme : V x E] 1; +oo[,
k= l
N ln ( 1 + kx)
N
1
N 1
S(x) ~ L
k
~ ln2 L k ----+ ln 2 z:= -,
k= I
kx
k= I kx x -> 1
k= I k
on déduit :
3 T/ > 0, \lx e ]l ; 1 + TJL S(x) ~ A ln 2, et
donc S(x) ----+ +oo.
x -> I +
a) On a:
V n E Z, V t E [n ; n + 1(, rp(t ) = n + (t - n)2.
L'application sur IR ; pour to ut n de Z , o n a :
y
Pour tout 11 de Z, la restriction rp 11 de V t E [n ; 11 + 1) , lrp~(t)I = 12(t - n)I ::;;; 2.
Soit (u , v) E IR 2 tel que v ::;;; u ; notons n = E(u),
p = E(v) (donc n ~ p).
•Si p = n , alors:
0 ::;;;
0 ::;;; rp(u) - rp(v)= (
= 2u - 2v + (p + 1 - n) ::;;; 2(u - v).
Finalement, b) 1) L 1 11 converge simplement sur lR car, pour x E IR* fixé,
Il
on a:
\ln EN*,
lnx l + l
lln(x)I ::;;; n2(n + 1).
2) L ln ne converge uniformément ni sur] - oo; 0) ni sur
n
[0; +oo[, puisque les J, 1 n'y sont pas bornées. Mais, pour
a E IR+ fixé, L f 11 converge normalement sur [-a; a ] car:
Il
na+ l
IJ,,(x) I::;;; 2
.
Il (n + 1)
V n E N *, V x E [-a ; a],
3) Puisque L J, 1 converge localement uniformément sur IR
n
(cf. 2)) et que chaque ln est continue (cf. a)), on conclut que
S est continue sur IR .
4) V(x,y)eIR 2 ,
IS(x) - S(y)I = 1~
n 2(n + 1)
~ lrp(nx) -
2
::;;; L.., -2 ~-~
n=l
n (n+l)
n=ln (n+l)
= 2( ~ 1 ) lx - YI
n= l n(n + 1)
= 2( ~ (~ - - 1 )) lx - YI = 2lx - y l ,
n=I n
n + 1
les séries utilisées étant convergentes.
a) 1) Convergence simple
Pour z E C - /l _ , fi xé, les f, 1 (z) existent et :
(-1)
11
(
z)-' (- 1)
11
(
1 )
fn (z) = - - 1 + -
= - - + 0 2 '
n
n
n
noo n
donc L J,, (z) converge .
Il
2) Convergence uniforme
Soit A une partie bornée de C telle que A n z_ = 0 ; il existe
M E IR+ tel que :
VzeA , l z l~ M.
On a, pour tout (n ,z) de N* x A ,
(- 1)"
'
(-l)n+ l Z
f 11 (z) = - n- + g,,(z), ou gn(Z) = n(n + z)
Soit n EN tel que n ~ M + 1 ; o n a
M
Vz EA , lg,,(z)I ~ (
M) '
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L ln est] 1; + oo[
n
• L J, 1 ne converge pas uniformément sur ] 1; +oo[ ;
n
• L ln converge normalement sur tout [a; +oo[ , a > 1 fixé.
n
b) L ln converge localement uniformément sur] 1; +oo[ et
n
chaque J, 1 est continue sur ]l ; +oo[ donc S est continue sur
]l ; +oo[.
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c) Soit A E IR+ fixé; puisque~ - ----+ +oo, il existe N E N*
L.., k noo
k= I
N 1
tel que L k ~ A + 1 . Comme : V x E] 1; +oo[,
k= l
N ln ( 1 + kx)
N
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N 1
S(x) ~ L
k
~ ln2 L k ----+ ln 2 z:= -,
k= I
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k= I kx x -> 1
k= I k
on déduit :
3 T/ > 0, \lx e ]l ; 1 + TJL S(x) ~ A ln 2, et
donc S(x) ----+ +oo.
x -> I +
a) On a:
V n E Z, V t E [n ; n + 1(, rp(t ) = n + (t - n)2.
L'application sur IR ; pour to ut n de Z , o n a :
Pour tout 11 de Z, la restriction rp 11 de V t E [n ; 11 + 1) , lrp~(t)I = 12(t - n)I ::;;; 2.
Soit (u , v) E IR 2 tel que v ::;;; u ; notons n = E(u),
p = E(v) (donc n ~ p).
•Si p = n , alors:
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0 ::;;; rp(u) - rp(v)= (
= 2u - 2v + (p + 1 - n) ::;;; 2(u - v).
Finalement, b) 1) L 1 11 converge simplement sur lR car, pour x E IR* fixé,
Il
on a:
\ln EN*,
lnx l + l
lln(x)I ::;;; n2(n + 1).
2) L ln ne converge uniformément ni sur] - oo; 0) ni sur
n
[0; +oo[, puisque les J, 1 n'y sont pas bornées. Mais, pour
a E IR+ fixé, L f 11 converge normalement sur [-a; a ] car:
Il
na+ l
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.
Il (n + 1)
V n E N *, V x E [-a ; a],
3) Puisque L J, 1 converge localement uniformément sur IR
n
(cf. 2)) et que chaque ln est continue (cf. a)), on conclut que
S est continue sur IR .
4) V(x,y)eIR 2 ,
IS(x) - S(y)I = 1~
n 2(n + 1)
~ lrp(nx) -
2
::;;; L.., -2 ~-~
n=l
n (n+l)
n=ln (n+l)
= 2( ~ 1 ) lx - YI
n= l n(n + 1)
= 2( ~ (~ - - 1 )) lx - YI = 2lx - y l ,
n=I n
n + 1
les séries utilisées étant convergentes.
a) 1) Convergence simple
Pour z E C - /l _ , fi xé, les f, 1 (z) existent et :
(-1)
11
(
z)-' (- 1)
11
(
1 )
fn (z) = - - 1 + -
= - - + 0 2 '
n
n
n
noo n
donc L J,, (z) converge .
Il
2) Convergence uniforme
Soit A une partie bornée de C telle que A n z_ = 0 ; il existe
M E IR+ tel que :
VzeA , l z l~ M.
On a, pour tout (n ,z) de N* x A ,
(- 1)"
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(-l)n+ l Z
f 11 (z) = - n- + g,,(z), ou gn(Z) = n(n + z)
Soit n EN tel que n ~ M + 1 ; o n a
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