-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
n
n Io 1 ( t)k
b) • L (Sk - ln 2) = L ~dt
k=l
k= I O l + t
= f
1
- -
1
(tc-d)dt
Jo l +t k= I
-1
1 (
1 ) -t(l - (-t)")
-
- - -
dt
0
l +t
l +t
Io
1
t
Ir. 1 ( -1 )" t"+ 1
=
dt+
dt.
0 (1 + t)2
0
(1 + t)2
l o
i (-l)n tn+l
Comme en a) :
dt ---* O.
0
(1 + t)2
1100
+oo
11 t
Donc Z:::cs" - ln2) =
2
dt.
11= 1
0 (1 +t)
][
•Raisonnement analogue pour Tn - 4 . On obtient:
+oo (
7r )
{ 1
t2
: ; Tn - 4 = Jo (1 + t2)2 dt.
+ oo
1
Réponse : L (Sn - ln 2) = ln 2 - 2:,
n = l
d'où: Vn E N*,
Comme L n
2
a; et
11 ;;> 1
1
L 2 convergent, on en déduit
11;;, l n
que L lan 1 converge.
n;;,l
1
a) • y ~ l ===? fn(x ,y) ~ 2
{
y > 1
2
•
===? 0 ~ fn(x ,y) ~ - 2
-
x ~ 1
y"
• { y> 1 ===? f,,(x,y) ~ (~)2n > O.
X > 1
1100 y
y
0
1
X
Réponse : l'ensemble de convergence simple de L f 11 est
Il
D = {(x, y ) E (IR+) 2 ; y > 1 et (0 ~ x ~ 1 ou (x > 1 et
~ < 1))} = {(x ,y) E (IR+ ) 2 ; y> Max(l ,x)}.
y
b) Pour e > 0 fixé, considérons :
De = {(x ,y) E IR~; y ~ (l + e) Max(J ,x) }.
y
y = (l+E)x
y = x
l+E
1 f--~.,/'--~~~~~~~
0
1
X
Soient n EN, (x , y) E De ; on a:
2
O ~ x ~ 1 ===? 0 ~ J,i(x , y) ~
2
(1 + e) n
1 +x2n
X ~ 1 ===? 0 ~ fn(x ,y) ~
2 2
1 +(1+ e )"xn
2
~
2 '
l+(l+e)
11
et donc L fn converge normalement, donc uniformément,
fi
sur De .
Comme chaque / 11 est continue sur D (donc en tout point
de De), on en déduit que S est continue en tout point de De.
Enfin, puisque :
0
V(x ,y) E D , 3 e > 0, (x,y) ED ,
ê
0
(où D désigne l'intérieur de De dans (IR+ ) 2 ), on conclut que
e
S est continue sur D.
a) 1) L f,,(x) converge{=:} x > 1 .
n
.
ln (n+ l )
2) • Sup lfn(x) I ~ !Jm lfn(x)I = - - -
xE)l ;+oo[
x ---->1 +
n
•Va > 1, Sup Jf,,(x) l -----+0.
xE [a ;+oo[
1100
+ oo ln (1 + kx)
+ oo
211
3) Rn (x) = L kxk ~ L kxk ~ L kxk ,
k=n+ I
k=n+ I
k=n + l
et
2n
l
2n l
1
' " ' - - '°' - >- -
L.,, kxk X ---> 1 + L.,, k ~ 2.
k=n+I
k=n+l