"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
3) Convergence uniforme
V n E N, V x E IR~,
+oo
kx
211
kx
R 11 (x) = "
2
2 ~ "
2
2
k~I (k +x)
k~I (k +x)
n(n + l)x
~
2
2'
(4n + x)
d'où:
*
2
n+l
1
V n E N , R11 (n ) ~ 25
n ~
25
,
c.u.
et donc R 11 -+-+ 0 sur IR+.
1100
Réponse : • L f 11 converge simplement sur IR+
Il
• L fn ne converge pas uniformément sur IR+ ;
Il
• L fn converge normalement sur ]0; a], pour chaque a > 0
Il
fixé.
b) Pour x > 1 fixé, soit V t E [0; +oo[,
tx
2·
(t +x)
Etudier les variations de t
1
fi
+oo
1
+
0
-
.
.
0
0
Notons N = E (If), d'où N :::;; If < N + 1, et
décomposons: S(x) = RN(X) + SN(X),
N
+oo
où SN(X) = L k=O
k=N+ I
Puisque Puisque on a:
f +oo l N+ I
l N+ I
On en déduit:
r +oo
{ N+ I
Jo
r +oo
{ N+ I
:::;; Jo Mais:
X
0 :::;; ,
X
O :::;; 3
,
(N + 1)
1
N+ 1
1 N+ 1
tx
0 :::;; N
dt
(t2 + x)2
(N + l)x
:::;;
2
2,
(N +x)
et N
"'
~' d'où l'on déduit :
x->+ooV 3
x-->+oo
x-->+oo
1
N+I
N
x-->+oo
1
l o
+oo
1
+oo 2 du l
Enfin:
- 2
- = -.
Ü
tt=t2+x
X
U
2
1) Soit(x ,y) E 1 2 telquex :::;; y.Commechaquef 11 estcroissante, on a:
'Vn E N, fn(X) :::;; f11(y) ,
d'où en sommant (puisque L f 11 converge simplement) :
Il
2) Même genre de raisonnement si les f 11 sont convexes, à partir de :
'V(x,y) E !
2 (x:::;; y),\/),, E [0; l] , \ln EN,
f11(ÀX + (1 - À)y) :::;; Àf11(X) + (1- À)f11(y).
'V X E]l; +oo(,
+oo 1
+oo 1
1
~(x) + T(x) = 2 " ---:- = 2 " - - . = - 1 ~(x).
L.., nA
L.., (2p )A
2xn= I.
p=]
11 pair
n ( l /+I
{I (n- 1
)
a)• S,. = ~ - k
= Jo
,(;<-dtk dt
l o
i 1 - (-t)"
=
dt
0
1 + t
et
- -dt=
- - dt :::;;
t
11 dt= - -
l l o
l (-t)" 111 t
11
loi
1
0 l+t
o l+t
o
n+l'
1
1 1
donc S 11 -----+
- - dt = ln 2.
1100 0 1 + t
• Raisonnement analogue pour T 11 :
T,. ~ fol 1 :t2 = ~·
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