Vn EN*, Vx E [a; +oo[,
( n > ~ ===? lhn(x) I ~
1
~ - -
1
- -)
a
nx(nx - l)
na(na - 1)
1
et L
converge.
n na(na - l)
Réponse: • L fn converge simplement sur ]1 ; +oo[
n
• L fn ne converge absolument en aucun point, et ne converge
n
normalement sur aucune partie non vide de ] 1; +oo[
• L f 11 ne converge pas uniformément sur ]l ; +oo[;
Il
• L !11 converge uniformément sur tout [a; +oo[, a > 1 fi xé.
n
b) On a, pour tout x de [2; +oo[ :
(
+oo (-1)" ) 1
S(x) = 1 + L -- - + T (x ) ,
n= I
n
X
où
+oo
- 1
T (x) = ' °"'
.
L nx(nx + (- 1)")
n= 1
En remarquant :
*
.
nx
V x E [2; +oo[, V n E N , nx + (-1)" ~ nx - 1 ~ 2 ,
+oo 2
( +oo 2 ) 1
on obtient : IT(x ) I ~ 2:-- 2 = L 2 2·
n= 1 (nx)
n= I n
X
Enfin
+oo (- 1)"
l : - - =-ln2 .
n= l
n
Réponse: S(x) = 1 - - + o
-
.
ln 2
( 1)
X
x-->+oo X
a) Remarquer que, pour x E IR+ fi xé, la série L f 11 (x) re lève
n;;. 1
du TSCSA (4.3.5 Théorè me p. 250).
Réponse : • L fn converge simplement sur IR+
Il
"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
1 . L fn ne converge absolument qu'en 0
Il
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
680 1
• L fn ne converge pas unifo rmément sur IR+ ;
Il
• L f 11 converge uniformément sur chaque [0; a], a ~ 0 fi xé.
n
b) Soitx > 0 fi xé. On a:
+oo
(
X)
S(x) = ?;<-l)"- 1 1n l + ~
= ~ (1n (1 + _ x ) - ln (1 + ...::.._ )) .
p=1
2p - 1
2 p
Notons
2t
Vérifier, en utilisant
t 2 +~t - ~
2
4
que
Par comparaison série-intégrale (cf. 4.3.7 1) a) Corollaire
p. 259), on a alors :
i
+oo
l +x
i +oo
1 + -
1
2
Calculer une primitive de
( x-1) ( x- 1)
= t + -
2
-
ln t + -
2
-
(
X -1)
- t + -
2
-
+t int - t
et en déduire :
r +oo
Ji
X+ 1 X+ 1 1 1 ( X) ( X)
2
2
2 2
2
2 '
puis, par un calcul de dévelo ppement asymptotique :
i
+oo
1
( l ).
]
2
x --> +oo
Réponse:
1
S(x)
~
- lnx .
x -->+oo 2
2N
2
L
(2.4 ... (2N))
(rr)
c
1 = ln
-----+ ln - .
) n= l f,,( )
(l.2 ... (2N))2(2N + l ) Noo
2
Réponse: S(l) = ln(%).
a) 1) Convergence simple
X
Pour x > 0 fixé, f,, (x) ~ - 3
.
1100 n
2) Convergence normale
1
• fn(n 2 ) = -
4n
• Pour a > 0 fixé :
Vn E N*, Vx E)Ü; a) ,
a
lf11(x) I ~ 3 ·
n
( n > ~ ===? lhn(x) I ~
1
~ - -
1
- -)
a
nx(nx - l)
na(na - 1)
1
et L
converge.
n na(na - l)
Réponse: • L fn converge simplement sur ]1 ; +oo[
n
• L fn ne converge absolument en aucun point, et ne converge
n
normalement sur aucune partie non vide de ] 1; +oo[
• L f 11 ne converge pas uniformément sur ]l ; +oo[;
Il
• L !11 converge uniformément sur tout [a; +oo[, a > 1 fi xé.
n
b) On a, pour tout x de [2; +oo[ :
(
+oo (-1)" ) 1
S(x) = 1 + L -- - + T (x ) ,
n= I
n
X
où
+oo
- 1
T (x) = ' °"'
.
L nx(nx + (- 1)")
n= 1
En remarquant :
*
.
nx
V x E [2; +oo[, V n E N , nx + (-1)" ~ nx - 1 ~ 2 ,
+oo 2
( +oo 2 ) 1
on obtient : IT(x ) I ~ 2:-- 2 = L 2 2·
n= 1 (nx)
n= I n
X
Enfin
+oo (- 1)"
l : - - =-ln2 .
n= l
n
Réponse: S(x) = 1 - - + o
-
.
ln 2
( 1)
X
x-->+oo X
a) Remarquer que, pour x E IR+ fi xé, la série L f 11 (x) re lève
n;;. 1
du TSCSA (4.3.5 Théorè me p. 250).
Réponse : • L fn converge simplement sur IR+
Il
"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
1 . L fn ne converge absolument qu'en 0
Il
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
680 1
• L fn ne converge pas unifo rmément sur IR+ ;
Il
• L f 11 converge uniformément sur chaque [0; a], a ~ 0 fi xé.
n
b) Soitx > 0 fi xé. On a:
+oo
(
X)
S(x) = ?;<-l)"- 1 1n l + ~
= ~ (1n (1 + _ x ) - ln (1 + ...::.._ )) .
p=1
2p - 1
2 p
Notons
2t
Vérifier, en utilisant
t 2 +~t - ~
2
4
que
Par comparaison série-intégrale (cf. 4.3.7 1) a) Corollaire
p. 259), on a alors :
i
+oo
l +x
i +oo
1 + -
1
2
Calculer une primitive de
( x-1) ( x- 1)
= t + -
2
-
ln t + -
2
-
(
X -1)
- t + -
2
-
+t int - t
et en déduire :
r +oo
Ji
X+ 1 X+ 1 1 1 ( X) ( X)
2
2
2 2
2
2 '
puis, par un calcul de dévelo ppement asymptotique :
i
+oo
1
( l ).
]
2
x --> +oo
Réponse:
1
S(x)
~
- lnx .
x -->+oo 2
2N
2
L
(2.4 ... (2N))
(rr)
c
1 = ln
-----+ ln - .
) n= l f,,( )
(l.2 ... (2N))2(2N + l ) Noo
2
Réponse: S(l) = ln(%).
a) 1) Convergence simple
X
Pour x > 0 fixé, f,, (x) ~ - 3
.
1100 n
2) Convergence normale
1
• fn(n 2 ) = -
4n
• Pour a > 0 fixé :
Vn E N*, Vx E)Ü; a) ,
a
lf11(x) I ~ 3 ·
n