"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
a) Convergence simple
Si x > 1 , alors fn (x) ~ :: .
noo x
.
n
Six= l,alorsfn(X) = - .
2
Si 0 < x < 1, alorsfn(x) ~ nxn- l .
1100
Réponse: • l'ensemble de convergence simple de L fn
Il
est [O; 1 [
• L fn ne converge pas uniformément sur [O; 1 [ ;
Il
• L fn converge normalement sur tout [0; a] , a E [0; 1 [ fixé.
n
b) 'v'N EN*,'v' xE]O;l[,
+oo
NxN -1
S(x) = L fn(X) ~ fN(X) = N ·
11=1
1 +X
Soit A E IR+ fixé ; il existe N E N* tel que N > A.
2
NxN - l
N
Comme
N
-----+
, il existe 17 E]O; 1 [ tel que :
1 +x x----> l - 2
NxN-l
'v'xE]l-T}; l[,
N >A,
l+ x
et alors S(x) > A.
Ceci montre: S(x) -----+ +oo.
X---> J -
X
1
a)'v'n E N*, 'v'x E IR+, 0 ::;::; f,,(x) ::;::; - 3 - = 3·
n x
n
Réponse: L f,, converge normalement sur IR+ .
Il
b) Soit A E li~+
n 1
Puisque L ------+ +oo, il existe N E N* tel que
k=I k noo
N l
1 N
N l
L -k ~ A+ 1. Comme - L fk(x) -----+ L - , il existe
k= 1
X k= 1
x ---->O+ k= 1 k
1 N
T/ > 0 tel que :
'v' x E]O; T}[, - L fk(x) ~ A . Enfin :
X k=l
S(x)
1 N
'v' x E]O; T}[, - - ~ - Lfk(x) ~ A.
X
X k=l
Réponse: S(x) -----+ +oo , S n'est pas dérivable en 0 à droite.
X
x ---+O+
a) Réponse : • l'ensemble de convergence simple de L fn
n
est IR+
• L fn converge normalement (donc uniformément) sur tout
n
[a ; +oo[,a > 0 fixé.
• L f,, ne converge pas uniformément sur IR+.
n
b) Pour x > 0 fixé, l'application
r +oo
r +oo
Jo e- x./i dt ::;::; S(x)::;::; 1 + Jo e- x./i dt.
Et:
2
2
= --[(u + l)e- " ]+
00 = - .
x2
0
x2
2
2
Ainsi: 'v' x E IR+ , 2" : : ; : : ; S(x) ::;::; 1 + 2 .
X
X
2
On déduit: S(x) = 2 + 0 (1) , et a fortiori :
X
x---+O+
2
S(x) ~ - .
x---+ 0+ x2
Réponse:
2
S(x) ~ - .
x---->0+ x 2
a) 1) Convergence simple
Pour x E]l ; +oo[ fixé,
(-l)n (
(-l)n) - 1
fn(X) = - - l + - -
nx
nx
(-1)
11
(
1 )
= - - + 0 -
nx
noo n2 '
et donc L fn (x) converge.
n
2) Convergence absolue
Pour x E]l; +oo[ fixé,
1
lf,,(x)I ~ -
et donc"°' lfn(x)I
noo nx
L n
diverge.
3) Convergence uniforme
Soit a > 1 fixé, nous allons montrer que L fn converge unin
formément sur [a; +oo[.
Pour n E N*, décomposons f 11 = g,, + hn ,
où g 11 , h,, : ] 1; +oo [-----+ IR sont définies par :
(-1)"
g11(X) = - -,
nx
-1
h ( x ) - - - - - -
11
- nx(nx + (-1)")
• L gn converge uniformément sur [a ; +oo[ (cf. TSCSA 4.3.8
n
2) c) Proposition p. 268):
'v'n EN*, 'v'x E [a ; +oo[,
1
+oo (- ll I
1
1
L:: ~ ::s; -c--- ::s;
.
k=n+I
n + l)x (n + 1)a
• L h,, converge normalement (donc uniformément) sur
Il
[a; +oo[ car:
1 679
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
a) Convergence simple
Si x > 1 , alors fn (x) ~ :: .
noo x
.
n
Six= l,alorsfn(X) = - .
2
Si 0 < x < 1, alorsfn(x) ~ nxn- l .
1100
Réponse: • l'ensemble de convergence simple de L fn
Il
est [O; 1 [
• L fn ne converge pas uniformément sur [O; 1 [ ;
Il
• L fn converge normalement sur tout [0; a] , a E [0; 1 [ fixé.
n
b) 'v'N EN*,'v' xE]O;l[,
+oo
NxN -1
S(x) = L fn(X) ~ fN(X) = N ·
11=1
1 +X
Soit A E IR+ fixé ; il existe N E N* tel que N > A.
2
NxN - l
N
Comme
N
-----+
, il existe 17 E]O; 1 [ tel que :
1 +x x----> l - 2
NxN-l
'v'xE]l-T}; l[,
N >A,
l+ x
et alors S(x) > A.
Ceci montre: S(x) -----+ +oo.
X---> J -
X
1
a)'v'n E N*, 'v'x E IR+, 0 ::;::; f,,(x) ::;::; - 3 - = 3·
n x
n
Réponse: L f,, converge normalement sur IR+ .
Il
b) Soit A E li~+
n 1
Puisque L ------+ +oo, il existe N E N* tel que
k=I k noo
N l
1 N
N l
L -k ~ A+ 1. Comme - L fk(x) -----+ L - , il existe
k= 1
X k= 1
x ---->O+ k= 1 k
1 N
T/ > 0 tel que :
'v' x E]O; T}[, - L fk(x) ~ A . Enfin :
X k=l
S(x)
1 N
'v' x E]O; T}[, - - ~ - Lfk(x) ~ A.
X
X k=l
Réponse: S(x) -----+ +oo , S n'est pas dérivable en 0 à droite.
X
x ---+O+
a) Réponse : • l'ensemble de convergence simple de L fn
n
est IR+
• L fn converge normalement (donc uniformément) sur tout
n
[a ; +oo[,a > 0 fixé.
• L f,, ne converge pas uniformément sur IR+.
n
b) Pour x > 0 fixé, l'application
r +oo
r +oo
Jo e- x./i dt ::;::; S(x)::;::; 1 + Jo e- x./i dt.
Et:
2
2
= --[(u + l)e- " ]+
00 = - .
x2
0
x2
2
2
Ainsi: 'v' x E IR+ , 2" : : ; : : ; S(x) ::;::; 1 + 2 .
X
X
2
On déduit: S(x) = 2 + 0 (1) , et a fortiori :
X
x---+O+
2
S(x) ~ - .
x---+ 0+ x2
Réponse:
2
S(x) ~ - .
x---->0+ x 2
a) 1) Convergence simple
Pour x E]l ; +oo[ fixé,
(-l)n (
(-l)n) - 1
fn(X) = - - l + - -
nx
nx
(-1)
11
(
1 )
= - - + 0 -
nx
noo n2 '
et donc L fn (x) converge.
n
2) Convergence absolue
Pour x E]l; +oo[ fixé,
1
lf,,(x)I ~ -
et donc"°' lfn(x)I
noo nx
L n
diverge.
3) Convergence uniforme
Soit a > 1 fixé, nous allons montrer que L fn converge unin
formément sur [a; +oo[.
Pour n E N*, décomposons f 11 = g,, + hn ,
où g 11 , h,, : ] 1; +oo [-----+ IR sont définies par :
(-1)"
g11(X) = - -,
nx
-1
h ( x ) - - - - - -
11
- nx(nx + (-1)")
• L gn converge uniformément sur [a ; +oo[ (cf. TSCSA 4.3.8
n
2) c) Proposition p. 268):
'v'n EN*, 'v'x E [a ; +oo[,
1
+oo (- ll I
1
1
L:: ~ ::s; -c--- ::s;
.
k=n+I
n + l)x (n + 1)a
• L h,, converge normalement (donc uniformément) sur
Il
[a; +oo[ car:
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