"'O
0
c
:J
0
(V')
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a) Réponse : • L ln converge simplement sur IR+
n
• L ln ne converge pas uniformément sur IR+ ;
Il
• L ln converge normalement sur tout [a; +oo[,a > 0 fi xé.
n
b) Soientx > 0 fixé et 'Px; [l; + oo[--+ IR.
t 1----+ txe- rx
Comme 'Px décroît et que 'Px est intégrable sur [l ; +oo[, on
obtient par comparaison série-intégrale (cf. 4.3.7 l ) a) Cor.
p.256):
r +oo
r +oo
1
1
'Px (t) dt !( S(x) !( e - x + 11
'Px(t) dt.
Ona:
li
+oo
] 1 +00 X -U
'Px (t)dt = - . - 1
u e du.
1
U=I X x-•+ X
Soit (xn ) 11 :;;,Q une suite à termes dans ]O; l] convergeant
vers O.
Notons, pour n E N, ln : ]O; +oo[--+ IR l'application définie
par: l,,(u ) = {Ox - 11
u 11 e
si 0 < U !( X
si X < U
Alors:
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux et intégrabl e
sur ]0; +oo[
C.S.
• ln ~ l, où l: JO; +oo[--+ IR , qui est continue par mor11 00
u~e -11
ceaux
•Ona : V'nE N*, V'xEJO;+oo[, ll11(u) l !( cp(u),
où cp :]0; +oo[-----+ IR , définie par
{
e-"
si 0 < u !( 1 1
.
cp(u ) =
_ 11
•
1
est continue par mo rceaux,
ue
s1 < u
~ 0 , intégrabl e sur JO; +oo[.
D'après le théorème de convergence dominée :
r +oo l11(u ) du~ r +oo l(u) du= r +oo e - "du = l ,
lo
1100 lo
lo
donc:
ux"e11 du~ 1.
j
+oo
X
11 00
"
Par caractérisation séquentielle de la limite, on déduit :
D'où:
'Px(t) dt= - e-xlnx
uxe11 du "' - ,
li
+oo
l
1 +
00
l
1
X
x
x~Q+ X
1
et finalement: S(x) "'
x~ Q+ X
a) • Po ur x > 0 fixé, il existe N EN tel que N!x > l et on a
1
alors: V'n ~ N, f,,(x) = - .
n!x
I · l,,(~! )=l.
Réponse : • L 1 11 converge simplement sur IR+
11
L ln ne converge pas uniformément sur IR+ ;
n
• L J,, converge normalement sur tout [a; +oo[, a > 0 fi xé.
Il
+oo
b) Soit x E IR+ ; notons S(x) = L ln (x).
n=O
+oo 1
1
•Si x ~ 1, alors S(x) = 2: - = - e !( e.
n=O n!x
x
•Si x < 1, il exi ste NE N* (dépe ndant de x) tel que
1
N! !( - < (N+l ) !,etona
X
N
+oo
S (x) = °"' n!x + °"'
L
L
n'x
11=0
n=N+ l .
N
D'une part : x Ln ! !( x(2(N!)) !( 2
ll = Û
( montrer, par récurrence : t n ! !( 2(N !)) .
n=O
D'autre part :
+oo
l
"" -
!(
L
n!x
n=N+ l
l
+oo
1
(N+ l )!x L (N + 2)k
k=O
1
1
1
3
-
l
!( --1 = -2.
(N + l )!x l _ _ _ l __
N +2
3
On obtient:
3
S(x) !( 2+ 2
.
a) Pour x E IR fixé, lln(x) I "' lanle-n+x.
noo
Réponse : L ln converge absolument (donc simplement)
11
sur IR .
b) Soit X E IR fixé.
1) Six !( 0 , alors
e
e- 1
2) Supposons x ~ 0 . Il existe N E N (dépendant de x ) tel que :
N !( x < N + 1 . On a :
IS(x) I = I~ l,,(x) I !( ~ e-lx-ll l
N
+oo
= L e-x+11 + L ex-n
n=O
11=N+ l
- x eN+ l - 1
x - (N+l )
l
= e
+e
e - l
1 - e-1
eN+ l - x
ex- N
e
e
2e
!(
+ - - !( - - + - - = - - .
e-1
e-1
e-1
e- 1
e- 1
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a) Réponse : • L ln converge simplement sur IR+
n
• L ln ne converge pas uniformément sur IR+ ;
Il
• L ln converge normalement sur tout [a; +oo[,a > 0 fi xé.
n
b) Soientx > 0 fixé et 'Px; [l; + oo[--+ IR.
t 1----+ txe- rx
Comme 'Px décroît et que 'Px est intégrable sur [l ; +oo[, on
obtient par comparaison série-intégrale (cf. 4.3.7 l ) a) Cor.
p.256):
r +oo
r +oo
1
1
'Px (t) dt !( S(x) !( e - x + 11
'Px(t) dt.
Ona:
li
+oo
] 1 +00 X -U
'Px (t)dt = - . - 1
u e du.
1
U=I X x-•+ X
Soit (xn ) 11 :;;,Q une suite à termes dans ]O; l] convergeant
vers O.
Notons, pour n E N, ln : ]O; +oo[--+ IR l'application définie
par: l,,(u ) = {Ox - 11
u 11 e
si 0 < U !( X
si X < U
Alors:
• pour tout n de N, ln est continue par morceaux et intégrabl e
sur ]0; +oo[
C.S.
• ln ~ l, où l: JO; +oo[--+ IR , qui est continue par mor11 00
u~e -11
ceaux
•Ona : V'nE N*, V'xEJO;+oo[, ll11(u) l !( cp(u),
où cp :]0; +oo[-----+ IR , définie par
{
e-"
si 0 < u !( 1 1
.
cp(u ) =
_ 11
•
1
est continue par mo rceaux,
ue
s1 < u
~ 0 , intégrabl e sur JO; +oo[.
D'après le théorème de convergence dominée :
r +oo l11(u ) du~ r +oo l(u) du= r +oo e - "du = l ,
lo
1100 lo
lo
donc:
ux"e11 du~ 1.
j
+oo
X
11 00
"
Par caractérisation séquentielle de la limite, on déduit :
D'où:
'Px(t) dt= - e-xlnx
uxe11 du "' - ,
li
+oo
l
1 +
00
l
1
X
x
x~Q+ X
1
et finalement: S(x) "'
x~ Q+ X
a) • Po ur x > 0 fixé, il existe N EN tel que N!x > l et on a
1
alors: V'n ~ N, f,,(x) = - .
n!x
I · l,,(~! )=l.
Réponse : • L 1 11 converge simplement sur IR+
11
L ln ne converge pas uniformément sur IR+ ;
n
• L J,, converge normalement sur tout [a; +oo[, a > 0 fi xé.
Il
+oo
b) Soit x E IR+ ; notons S(x) = L ln (x).
n=O
+oo 1
1
•Si x ~ 1, alors S(x) = 2: - = - e !( e.
n=O n!x
x
•Si x < 1, il exi ste NE N* (dépe ndant de x) tel que
1
N! !( - < (N+l ) !,etona
X
N
+oo
S (x) = °"' n!x + °"'
L
L
n'x
11=0
n=N+ l .
N
D'une part : x Ln ! !( x(2(N!)) !( 2
ll = Û
( montrer, par récurrence : t n ! !( 2(N !)) .
n=O
D'autre part :
+oo
l
"" -
!(
L
n!x
n=N+ l
l
+oo
1
(N+ l )!x L (N + 2)k
k=O
1
1
1
3
-
l
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(N + l )!x l _ _ _ l __
N +2
3
On obtient:
3
S(x) !( 2+ 2
.
a) Pour x E IR fixé, lln(x) I "' lanle-n+x.
noo
Réponse : L ln converge absolument (donc simplement)
11
sur IR .
b) Soit X E IR fixé.
1) Six !( 0 , alors
e
e- 1
2) Supposons x ~ 0 . Il existe N E N (dépendant de x ) tel que :
N !( x < N + 1 . On a :
IS(x) I = I~ l,,(x) I !( ~ e-lx-ll l
N
+oo
= L e-x+11 + L ex-n
n=O
11=N+ l
- x eN+ l - 1
x - (N+l )
l
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eN+ l - x
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e
2e
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e-1
e-1
e-1
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